Банк задач ЕГЭ по математике

Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать. Нужно найти конечное давление воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное. $$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{p_2}{p_1}$$ Давление положительно; поэтому аргумент логарифма $p_2/p_1$ должен быть положительным. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле. Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 27840, вместо коэффициента α — 5,8, количества вещества — 8, температуры — 300: $$27840=5{,}8\cdot 8\cdot300\cdot\log_2 \frac{p_2}{20}$$ Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом: $$5{,}8\cdot8=46{,}4$$ $$46{,}4\cdot300=13920$$ Уравнение стало короче: $$27840=13920\log_2 \frac{p_2}{20}$$ Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 13920: $$\log_2 \frac{p_2}{20}=\frac{27840}{13920}=2$$ Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает: $$\frac{p_2}{20}=2^{2}$$ Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем: $$2^{2}=2\cdot2=4$$ Шаг 4. Находим неизвестную величину. Умножаем обе части на начальное давление 20: $$p_2=20\cdot4=80$$ Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл. $$\frac{80}{20}=4$$ $$\log_2 4=2$$ $$A=13920\cdot2=27840$$ Работа совпала с условием. При сжатии давление стало больше начального, результат положителен. Ответ: $80$ атм.

Нужно решить неравенство и не потерять область определения. Каждый аргумент логарифма должен быть строго положительным: $$\frac1x+2=\frac{2x+1}x>0,\qquad x+5>0,\qquad\frac{x+4}{x^2}>0.$$ Первая дробь положительна при одинаковых знаках числителя и знаменателя: $x<-1/2$ или $x>0$. Второе условие: $x>-5$. В третьей дроби $x^2>0$ при $x\ne0$, поэтому требуется $x>-4$, $x\ne0$. Пересечение: $$x\in(-4;-1/2)\cup(0;+\infty).$$ На найденной области все аргументы положительны. Используем свойства логарифмов: сумма — логарифм произведения, разность — логарифм частного. Основание 3 больше 1, поэтому логарифм возрастает: при сравнении аргументов знак сохраняется. После перехода к аргументам переносим все слагаемые влево. $$\log_3\frac{(2x+1)/x}{x+5}\ge\log_3\frac{x+4}{x^2}\ \Longleftrightarrow\frac{2x+1}{x(x+5)}-\frac{x+4}{x^2}\ge0.$$ Общий знаменатель $x^2(x+5)$; числитель: $$N=x(2x+1)-(x+4)(x+5)$$ $$N=2x^2+x-(x^2+9x+20)=x^2-8x-20.$$ Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби: $$\frac{2 x + 1}{x \left(x + 5\right)} - \frac{x + 4}{x^{2}}\ge0.$$ Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель: $$N=x^{2} - 8 x - 20,\qquad D=x^{3} + 5 x^{2}.$$ Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант: $$D=(-8)^2-4\cdot(1)\cdot(-20)=144.$$ $$x_{1,2}=\frac{-(-8)\pm\sqrt{144}}{2\cdot(1)}.$$ $$x\in\left\{-2,10\right\}.$$ Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её. По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $-5$: $$P(-5)=1\cdot\left(-5\right)^{3}+5\cdot\left(-5\right)^{2}=0.$$ Раз корень найден, делим многочлен на $x + 5$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем: $$\frac{x^{3}}{x}=x^{2},$$ $$x^{2}\left(x + 5\right)=x^{3} + 5 x^{2},$$ $$\left(x^{3} + 5 x^{2}\right)-\left(x^{3} + 5 x^{2}\right)=0.$$ $$x^{3} + 5 x^{2}=\left(x + 5\right)\left(x^{2}\right).$$ Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант: $$D=(0)^2-4\cdot(1)\cdot(0)=0.$$ $$x_{1,2}=\frac{-(0)\pm\sqrt{0}}{2\cdot(1)}.$$ $$x\in\left\{0\right\}.$$ Итак, для исследования знака получена дробь: $$\frac{\left(x - 10\right) \left(x + 2\right)}{x^{2} \left(x + 5\right)}\ge0.$$ Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями. $$-\infty<x<-5:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$ $$-5<x<-2:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ $$-2<x<0:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$0<x<10:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$ $$10<x<\infty:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$ Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем: $$x\in \left(-4, -2\right] \cup \left[10, \infty\right).$$ Ответ: $$x\in \left(-4, -2\right] \cup \left[10, \infty\right).$$

Внутри каждого цвета числа различны, но зелёное и красное числа могут совпадать. Это важно: нельзя требовать, чтобы все 30 чисел были различными. Для минимального количества красных сначала найдём наименьшую сумму при заданном их количестве, а затем построим пример. а) Возьмём 29 зелёных чисел $3,6,\ldots,87$ и одно красное число 21. Красное число 21 делится и на 7, и на 3. Поэтому все написанные числа кратны 3. Чтобы сложить зелёные числа, вынесем множитель 3. Сумму от 1 до 29 можно найти, сложив её с той же суммой в обратном порядке: каждая из 29 пар даст 30. Поэтому удвоенная сумма равна $29\cdot30$. $$ 3+6+\ldots+87=3(1+2+\ldots+29)=3\cdot\frac{29\cdot30}{2}=1305. $$ Вместе с красным числом: $$ 1305+21=1326<1395. $$ Совпадение красного 21 с зелёным 21 разрешено. Ответ: да. б) При одном красном остаётся 29 различных зелёных. Их сумма не меньше 1305, а наименьшее натуральное красное число равно 7. Значит: $$ \text{общая сумма}\ge1305+7=1312>1067. $$ Ответ: нет. в) Пусть красных $r$, тогда зелёных $30-r$. Наименьшие возможные зелёные — первые $30-r$ положительных кратных 3. Наименьшие красные — первые $r$ положительных кратных 7. По той же формуле суммы последовательных чисел нижняя граница равна: $$ L(r)=3\frac{(30-r)(31-r)}2+7\frac{r(r+1)}2. $$ Для доказательства, что красных нужно хотя бы шесть, достаточно проверить все меньшие неотрицательные количества. Покажем обе части суммы: $$ \begin{array}{c|r|r|r} r&\text{зелёные}&\text{красные}&L(r)\\\hline 0&3\cdot30\cdot31/2=1395&0&1395\\ 1&3\cdot29\cdot30/2=1305&7&1312\\ 2&3\cdot28\cdot29/2=1218&7\cdot2\cdot3/2=21&1239\\ 3&3\cdot27\cdot28/2=1134&7\cdot3\cdot4/2=42&1176\\ 4&3\cdot26\cdot27/2=1053&7\cdot4\cdot5/2=70&1123\\ 5&3\cdot25\cdot26/2=975&7\cdot5\cdot6/2=105&1080 \end{array} $$ Каждый результат больше 1067. Теперь проверим, что шесть красных действительно достаточно. Возьмём зелёные $3,6,\ldots,69,78$ — их $23+1=24$, и красные $7,14,21,28,35,56$ — их шесть. $$ 3+6+\ldots+69+78=3\cdot\frac{23\cdot24}{2}+78=828+78=906; $$ $$ 7+14+21+28+35+56=21+21+28+35+56=161; $$ $$ 906+161=1067. $$ Внутри каждого цвета повторений нет, все требования выполнены. Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

Нужно доказать отношение отрезков и вычислить отношение площадей. Так как $AB=BD$ и $BE$ — биссектриса, удобно направить горизонтальную ось вдоль этой биссектрисы: точки $A$ и $D$ окажутся симметричными. Шаг 1. Введём координаты. Пусть $AB=BD=r$, $BC=q$, где $q>r>0$. Половину угла $ABC$ обозначим $\theta$. Выберем $B=(0;0)$, ось $x$ вдоль биссектрисы, а $A$ расположим выше неё. Тогда $$A=(r\cos\theta;r\sin\theta),\quad D=(r\cos\theta;-r\sin\theta),$$ $$C=(q\cos\theta;-q\sin\theta).$$ Точки $A,D$ имеют одинаковую первую координату, поэтому $AD$ вертикальна. Пересечение с горизонтальной биссектрисой — $E=(r\cos\theta;0)$. Перпендикуляр из $C$ к вертикальной $AD$ горизонтален, значит, $K=(r\cos\theta;-q\sin\theta)$. Отсюда $AE=r\sin\theta$, $EK=q\sin\theta$. Делим: $$\frac{AE}{EK}=\frac{r\sin\theta}{q\sin\theta}=\frac rq=\frac{AB}{BC}.$$ Сокращение допустимо: половина угла треугольника положительна, поэтому $\sin\theta>0$. Пункт а доказан. Шаг 2. Найдём координату $F$. По теореме о биссектрисе $AF:FC=AB:BC=r:q$. Точка $F$ делит $AC$ в этом отношении, поэтому её координаты равны взвешенным средним с противоположными весами: $$F=\frac{qA+rC}{r+q}.$$ Такую формулу можно получить, пройдя от $A$ долю $r/(r+q)$ всего вектора $AC$: $F=A+[r/(r+q)](C-A)$. Подставляем координаты: $$x_F=\frac{qr\cos\theta+rq\cos\theta}{r+q}=\frac{2rq\cos\theta}{r+q},$$ $$y_F=\frac{qr\sin\theta-rq\sin\theta}{r+q}=0.$$ Значит, $F$ лежит на горизонтальной биссектрисе, как и должно быть. Причём $$EF=x_F-x_E=\left(\frac{2rq}{r+q}-r\right)\cos\theta=\frac{r(q-r)}{r+q}\cos\theta>0.$$ Шаг 3. Вычислим площади частей. Для краткости пишем $c=\cos\theta$, $s=\sin\theta$, оба числа положительны. Треугольник $ABE$ прямоугольный, с катетами $BE=rc$ и $AE=rs$: $$S_{ABE}=\frac12(rc)(rs)=\frac{r^2cs}{2}.$$ Четырёхугольник $CDEF$ разделим диагональю $CE$ на треугольники $CDE$ и $CEF$. У $CDE$ основание $DE=rs$ вертикально, а расстояние от $C$ до его прямой равно $qc-rc=(q-r)c$. Поэтому $$S_{CDE}=\frac12rs\cdot(q-r)c=\frac{r(q-r)cs}{2}.$$ У $CEF$ основание $EF=r(q-r)c/(r+q)$ горизонтально, а высота от $C$ равна $qs$. Значит, $$S_{CEF}=\frac12\cdot\frac{r(q-r)c}{r+q}\cdot qs=\frac{rq(q-r)cs}{2(r+q)}.$$ Складываем, приводя к знаменателю $2(r+q)$: $$S_{CDEF}=\frac{r(q-r)(r+q)cs+rq(q-r)cs}{2(r+q)}=\frac{r(q-r)(r+2q)cs}{2(r+q)}.$$ Шаг 4. Найдём отношение и подставим условие. $$\frac{S_{ABE}}{S_{CDEF}}=\frac{r^2cs}{2}\cdot\frac{2(r+q)}{r(q-r)(r+2q)cs}=\frac{r(r+q)}{(q-r)(r+2q)}.$$ Из $BD:DC=5:2$ можно записать $r=5u$, $DC=2u$, поэтому $q=BC=5u+2u=7u$, где $u>0$. Тогда $$\frac{S_{ABE}}{S_{CDEF}}=\frac{5u(5u+7u)}{(7u-5u)(5u+14u)}=\frac{5u\cdot12u}{2u\cdot19u}=\frac{60u^2}{38u^2}=\frac{30}{19}.$$ Проверка: общий масштаб $u$ и угол $\theta$ сократились — при заданном отношении сторон ответ не зависит от размера и формы треугольника. Ответ: а) $AB:BC=AE:EK$; б) $S_{ABE}:S_{CDEF}=30:19$.

Нужно решить произведение с квадратом логарифма. Сначала ОДЗ: из $x+3>0$ и $x+2>0$ получаем $x>-2$. Аргумент $x^2+6x+9=(x+3)^2$ при этом тоже положителен. Введём: $$t=\log_4(x+3).$$ Основание $0{,}25=1/4=4^{-1}$ позволяет сменить основание: $$\log_{0{,}25}(x+3)=\frac{\log_4(x+3)}{\log_44^{-1}}=\frac t{-1}=-t.$$ Значит, квадрат первого логарифма равен $(-t)^2=t^2$. Второй логарифм: $$\log_4((x+3)^2)=2\log_4(x+3)=2t.$$ Поэтому выражение в скобках: $$t^2-2t+1=(t-1)^2.$$ Неравенство стало: $$(t-1)^2\log_4(x+2)\le0.$$ Первый множитель всегда неотрицателен. Поэтому если второй неположителен, всё произведение неположительно; если второй положителен, равенство возможно только при нулевом квадрате. Так как основание 4 больше 1, неположительный логарифм соответствует аргументу между 0 и 1: $$\log_4(x+2)\le0\ \Longleftrightarrow 0<x+2\le1\ \Longleftrightarrow -2<x\le-1.$$ Все эти $x$ подходят. При $x>-1$ второй множитель положителен, поэтому: $$(t-1)^2=0\ \Longleftrightarrow t=1\ \Longleftrightarrow x+3=4^1=4\ \Longleftrightarrow x=1.$$ Точка1 допустима, поскольку больше $-2$. Граница $-2$ запрещена нулевым аргументом $x+2$, а $-1$ разрешена: логарифм там нулевой. Ответ: $$x\in(-2;-1]\cup\{1\}.$$

План. Докажем подобие маленького треугольника $C_1HK$ исходному. Тогда отношение площадей сведётся к квадрату отношения двух сторон. Для чисел найдём основание высоты $C_1$ и положение ортоцентра $H$. а) Сначала уточним расположение точек. В остроугольном треугольнике основания высот находятся на самих сторонах, а ортоцентр $H$ — внутри. Точка $C_1$ лежит на $AB$. Поскольку $C_1K\parallel BB_1$, то и $C_1K\parallel BH$. В треугольнике $ABH$ прямая через внутреннюю точку $C_1$ стороны $AB$, параллельная $BH$, пересекает $AH$ внутри. Значит, $K$ находится между $A$ и $H$. Прямая $HC_1$ — высота из $C$, поэтому перпендикулярна $AB$. Прямая $C_1K$ параллельна высоте из $B$, поэтому перпендикулярна $AC$. Угол между этими двумя лучами равен острому углу между $AB$ и $AC$: $$\angle HC_1K=\angle BAC.$$ А прямые $HC_1$ и $HK$ перпендикулярны соответственно $AB$ и $BC$. С учётом $K\in AH$ угол при $H$ равен углу при $B$: $$\angle C_1HK=\angle ABC.$$ По двум углам треугольники подобны, причём соответствуют вершины $C_1\leftrightarrow A$, $H\leftrightarrow B$, $K\leftrightarrow C$. Следовательно, $$\frac{KH}{BC}=\frac{C_1H}{AB}.$$ Умножаем на $AB\cdot BC$: $$AB\cdot KH=BC\cdot C_1H.$$ б) Находим $AC_1$. Обозначим $AC_1=u$, $CC_1=v$. Из теоремы косинусов в исходном треугольнике $$\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}.$$ В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ имеем $u=AC\cos A$, поэтому $$u=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB}=\frac{6^2+5^2-4^2}{2\cdot6},$$ $$u=\frac{36+25-16}{12}=\frac{45}{12}=\frac{15}{4}.$$ Тогда $$BC_1=AB-AC_1=6-\frac{15}{4}=\frac{24-15}{4}=\frac94.$$ По Пифагору в $ACC_1$: $$v^2=AC^2-u^2=25-\left(\frac{15}{4}\right)^2=\frac{400-225}{16}=\frac{175}{16},$$ $$v=\frac{\sqrt{175}}4=\frac{5\sqrt7}{4}.$$ Находим $C_1H$. В треугольнике $AC_1H$ прямой угол при $C_1$, а угол $C_1AH$ дополняет $B$ до $90^\circ$, потому что $AH\perp BC$. Следовательно, $$\frac{C_1H}{AC_1}=\tan(90^\circ-B)=\cot B.$$ В прямоугольном треугольнике $BCC_1$: $$\cot B=\frac{BC_1}{CC_1}=\frac{9/4}{5\sqrt7/4}=\frac9{5\sqrt7}.$$ Поэтому $$C_1H=\frac{15}{4}\cdot\frac9{5\sqrt7}=\frac{135}{20\sqrt7}=\frac{27}{4\sqrt7}.$$ Отношение площадей. У подобных треугольников и основание, и высота изменяются в один коэффициент, поэтому площадь изменяется в квадрат этого коэффициента. Стороне $AB$ соответствует $C_1H$: $$\frac{S_{C_1HK}}{S_{ABC}}=\left(\frac{C_1H}{AB}\right)^2=\left(\frac{27}{4\sqrt7}\cdot\frac16\right)^2,$$ $$\frac{S_{C_1HK}}{S_{ABC}}=\left(\frac{27}{24\sqrt7}\right)^2=\frac{729}{576\cdot7}=\frac{729}{4032}=\frac{81}{448}.$$ Ответ: б) $\frac{81}{448}$.

а) Сначала используем информацию о двух равнобедренных треугольниках. У треугольника $ABD$ основание — $AD$, поэтому равны две остальные стороны: $$AB=BD.$$ У треугольника $BCD$ основание — $CD$, поэтому: $$BC=BD.$$ Объединяем эти равенства: $$AB=BC=BD.$$ Таким образом, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. Его углы при основании равны: $$\angle BAC=\angle ACB.$$ Основания трапеции параллельны: $BC\parallel AD$. При секущей $AC$ накрест лежащие углы равны: $$\angle ACB=\angle CAD.$$ Значит: $$\angle BAC=\angle CAD.$$ Это и означает, что луч $AC$ делит угол $BAD$ на две равные части, то есть является его биссектрисой. б) Найдём боковую сторону $CD$ по двум диагоналям. Координаты помогут получить равенство, связывающее эти три отрезка. Обозначим $BD=r$, $AD=d$, высоту трапеции через $h$. Из $AB=BD$ следует, что точка $B$ одинаково удалена от $A$ и $D$. Поэтому её проекция на $AD$ — середина этого основания. Разместим $A,D$ на горизонтальной оси: $$A=(0;0),\quad D=(d;0),\quad B=(d/2;h).$$ Длина горизонтального верхнего основания $BC$ равна $BD=r$, поэтому: $$C=(d/2+r;h).$$ Сначала выразим высоту через $r,d$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AB=r$ и катетами $d/2,h$ по теореме Пифагора: $$r^2=(d/2)^2+h^2.$$ Вычтем $d^2/4$ из обеих частей: $$h^2=r^2-d^2/4.$$ Теперь по формуле расстояния между точками: $$AC^2=(d/2+r)^2+h^2.$$ Раскроем квадрат суммы и подставим найденное $h^2$: $$AC^2=d^2/4+dr+r^2+r^2-d^2/4=2r^2+dr.$$ Аналогично разность первых координат $C,D$ равна $(d/2+r)-d=r-d/2$, поэтому: $$CD^2=(r-d/2)^2+h^2,$$ $$CD^2=r^2-rd+d^2/4+r^2-d^2/4=2r^2-rd.$$ Сложим два равенства. Члены $dr$ и $-rd$ взаимно уничтожаются: $$AC^2+CD^2=(2r^2+dr)+(2r^2-rd)=4r^2.$$ Так как $r=BD$, получаем формулу именно для искомой стороны: $$CD^2=4BD^2-AC^2.$$ Подставим данные условия: $$CD^2=4\cdot(\frac{17}{2})^2-15^2.$$ Вычислим квадраты: $$CD^2=4\cdot\frac{289}{4}-225=289-225=64.$$ Длина стороны положительна, поэтому берём положительный квадратный корень: $$CD=\sqrt{64}=8.$$ Ответ: а) доказано; б) $CD=8$.

Ищем параметры, при которых решений либо нет, либо ровно одно. В уравнение входят симметричные модули, поэтому удобно сначала считать не знаки корней, а их расстояния от нуля. Введём неотрицательные числа: $$c=|a-3|\ge0,\qquad t=|x|\ge0.$$ Поясним сумму модулей. Замена знака у $x$ или у $a-3$ лишь меняет два модуля местами, поэтому можно считать оба числа неотрицательными. Если $t\le c$, то: $$|t-c|+|t+c|=(c-t)+(t+c)=2c.$$ Если $t\ge c$, то: $$|t-c|+|t+c|=(t-c)+(t+c)=2t.$$ Следовательно, исходное уравнение равносильно двум случаям: $$\begin{cases}t^4+c^2=2c,&0\le t\le c,\\t^4+c^2=2t,&t\ge c.\end{cases}$$ При $t=0$ получается только $x=0$. Каждое положительное $t$ даёт уже два разных корня $x=t$ и $x=-t$. Поэтому достаточно выяснить, когда положительных решений $t$ нет. Случай $c>2$. В первой области левая часть больше правой: $$t^4+c^2\ge c^2>2c,\qquad c^2-2c=c(c-2)>0.$$ Во второй области $t\ge c>2$, поэтому $t^3>8>2$. Умножаем на положительное $t$: $$t^4>2t,\qquad t^4+c^2>2t.$$ Решений нет; такие параметры подходят. Случай $c=2$. В первой области: $$t^4+4=4\ \Longrightarrow\ t^4=0\ \Longrightarrow\ t=0.$$ Во второй области $t\ge2$ имеем $t^3\ge8>2$, так что $t^4+4>2t$. Получен только $x=0$, и этот случай тоже подходит. Случай $0<c<2$. Рассмотрим непрерывную функцию: $$F(t)=t^4+c^2-2\max(t,c).$$ Она непрерывна, потому что обе формулы совпадают при $t=c$. На концах отрезка $[0;2]$ получаем: $$F(0)=c^2-2c=c(c-2)<0,$$ $$F(2)=16+c^2-4=12+c^2>0.$$ При непрерывном переходе от отрицательного значения к положительному функция обязательно принимает ноль между ними. Поэтому существует $t$ строго между 0 и 2, а ему отвечают два разных $x$. Параметр не подходит. Остался $c=0$. Уравнение упрощается: $$t^4=2t,\qquad t^4-2t=t(t^3-2)=0.$$ Отсюда $t=0$ или $t=\sqrt[3]2>0$, то есть три корня $x=0,\sqrt[3]2,-\sqrt[3]2$. Это не подходит. Итак, необходимо и достаточно $c\ge2$. Возвращаемся к параметру: $$|a-3|\ge2\ \Longleftrightarrow\ a-3\le-2\ \text{или}\ a-3\ge2,$$ $$a\le1\ \text{или}\ a\ge5.$$ На границах $a=1,5$ получен ровно один корень; за границами корней нет. Ответ: $(-\infty;1]\cup[5;+\infty)$.

Точек и перпендикуляров здесь много. Поэтому выберем координаты так, чтобы сторона $AB$ была горизонтальной. Тогда проекция на $AB$ получается простым обнулением второй координаты, а высота из $C$ задаётся вертикальной прямой. Координаты остальных точек найдём из условия перпендикулярности, а не возьмём готовыми. Обозначим равные боковые стороны $AB=BC=l$, основание $AC=b$. Выберем: $$A=(0;0),\qquad B=(l;0),\qquad C=(q;v),\quad v>0.$$ Треугольник остроугольный, поэтому основание высоты из $C$ лежит между $A$ и $B$: $$0<q<l.$$ По формуле расстояния $AC^2=q^2+v^2=b^2$. Равенство $BC=l$ даёт: $$(q-l)^2+v^2=l^2.$$ Раскроем квадрат разности: $$q^2-2lq+l^2+v^2=l^2.$$ Вычтем $l^2$, затем перенесём $-2lq$ вправо: $$q^2+v^2=2lq.$$ Левая часть равна $b^2$, поэтому: $$b^2=2lq,\qquad q=\frac{b^2}{2l}.$$ Для краткости дальнейших формул обозначим $u=q/l$. Тогда: $$u=\frac{b^2}{2l^2},\qquad0<u<1.$$ Шаг 1. Найдём основание высоты $H$ из $A$ на $BC$. Направляющий вектор стороны $BC$: $$w=C-B=(q-l;v).$$ Любая точка этой прямой имеет вид $B+tw$, где $t$ — число. Запишем $H=B+tw$. Условие $AH\perp BC$ означает, что скалярное произведение векторов $AH$ и $w$ равно нулю. Поскольку $A=(0;0)$, вектор $AH$ имеет те же координаты, что $H$. Получаем: $$0=(B+tw)\cdot w=B\cdot w+t|w|^2.$$ Здесь $B\cdot w=l(q-l)$, а $|w|=BC=l$. Следовательно: $$l(q-l)+tl^2=0.$$ Перенесём первое слагаемое вправо и разделим на $l^2>0$: $$t=\frac{l(l-q)}{l^2}=1-\frac ql=1-u.$$ Подставим это в координаты: $$H=(l+(1-u)(q-l);(1-u)v).$$ Первую координату упростим отдельно: $$l+(1-u)(q-l)=l+(1-u)q-l+ul=(1-u)q+q=q(2-u).$$ Итак: $$H=(q(2-u);(1-u)v).$$ Шаг 2. Найдём точки $M$ и $K$. $M$ — проекция $H$ на горизонтальную сторону $AB$. Поэтому первая координата остаётся, вторая становится нулём: $$M=(q(2-u);0).$$ Точка $K$ лежит на $AC$, значит, её координаты можно записать как $K=kC=(kq;kv)$. Перпендикулярность $HK$ и $AC$ даёт: $$(H-kC)\cdot C=0,$$ $$H\cdot C-k|C|^2=0,$$ $$k=\frac{H\cdot C}{|C|^2}.$$ В знаменателе $|C|^2=AC^2=b^2$. Числитель вычислим по координатам: $$H\cdot C=q^2(2-u)+(1-u)v^2.$$ Выделим общую часть: $$q^2(2-u)+(1-u)v^2=(1-u)(q^2+v^2)+q^2=(1-u)b^2+q^2.$$ Следовательно: $$k=1-u+\frac{q^2}{b^2}.$$ Так как $b^2=2lq$, последняя дробь равна: $$\frac{q^2}{b^2}=\frac{q^2}{2lq}=\frac{q}{2l}=u/2.$$ Значит: $$k=1-u+u/2=1-u/2,$$ $$K=((1-u/2)q;(1-u/2)v).$$ Шаг 3. Найдём пересечение $E$ прямой $MK$ с высотой $CT$. Высота $CT$ перпендикулярна горизонтальной $AB$, поэтому она вертикальна: $$x=q,\qquad T=(q;0).$$ Точки отрезка $MK$ запишем в виде $M+\lambda(K-M)$. Его первая координата: $$q(2-u)+\lambda[(1-u/2)q-q(2-u)].$$ В скобках: $$(1-u/2)q-q(2-u)=q[(1-u/2)-(2-u)]=-q(1-u/2).$$ В точке пересечения с $CT$ первая координата равна $q$. Поэтому: $$q(2-u)-\lambda q(1-u/2)=q.$$ Разделим на $q>0$, затем перенесём слагаемые: $$2-u-\lambda(1-u/2)=1,$$ $$\lambda(1-u/2)=1-u,$$ $$\lambda=\frac{1-u}{1-u/2}.$$ При $0<u<1$ числитель положителен и меньше знаменателя, поэтому $0<\lambda<1$. Это означает, что $E$ находится внутри отрезка $MK$. Её вторая координата: $$y_E=0+\lambda(1-u/2)v=\frac{1-u}{1-u/2}(1-u/2)v=(1-u)v.$$ Таким образом: $$E=(q;(1-u)v).$$ а) У точек $E$ и $H$ одинаковая вторая координата $(1-u)v$. Поэтому прямая $EH$ горизонтальна. Сторона $AB$ тоже горизонтальна. Эти прямые не совпадают: $E,H$ находятся выше $AB$, поскольку $(1-u)v>0$. Следовательно, $EH\parallel AB$. б) Вычислим нужную длину. Из координат получаем: $$\overrightarrow{ME}=(q-q(2-u);(1-u)v-0)=(-q(1-u);(1-u)v).$$ По формуле длины вектора: $$ME=\sqrt{q^2(1-u)^2+v^2(1-u)^2}.$$ Вынесем $(1-u)^2$ из-под корня. Поскольку $1-u>0$, его квадратный корень равен $1-u$: $$ME=(1-u)\sqrt{q^2+v^2}=(1-u)b.$$ Для всего отрезка $MK$ аналогично: $$\overrightarrow{MK}=(-q(1-u/2);v(1-u/2)),$$ $$MK=(1-u/2)\sqrt{q^2+v^2}=b(1-u/2).$$ Точка $E$ лежит между $M$ и $K$, что мы проверили по параметру $\lambda$. Поэтому: $$EK=MK-ME=b(1-u/2)-b(1-u).$$ Раскроем скобки и приведём подобные члены: $$EK=b-bu/2-b+bu=bu/2.$$ Подставим данные условия $l=17$, $b=16$ в формулу для $u$: $$u=\frac{16^2}{2\cdot17^2}=\frac{256}{2\cdot289}=\frac{256}{578}=\frac{128}{289}.$$ Нужно найти $ME=b(1-u)$. Сначала вычтем дробь из единицы: $$1-u=1-\frac{128}{289}=\frac{161}{289}.$$ Теперь умножим на длину основания: $$ME=16\cdot\frac{161}{289}=\frac{2576}{289}.$$ Ответ: а) доказано; б) $ME=\frac{2576}{289}$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $12$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(12)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(16 x^{2})^{\prime}=(16)\cdot(2)\cdot x^{1}=32 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(64 x)^{\prime}=(64)\cdot(1)\cdot x^{0}=64$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} + 32 x + 64$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} + 32 x + 64=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=32,\qquad C=64$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(32)^2=1024$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(64)=768$$ $$D=B^2-4AC=1024-(768)=256$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{256}=16$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(32)+16}{2\cdot(3)}=\frac{-16}{6}=- \frac{8}{3}$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(32)-16}{2\cdot(3)}=\frac{-48}{6}=-8$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-8)$ возьмём $x=-9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-9)=3 \left(-9\right)^{2} + 32 \left(-9\right) + 64$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-9\right)^{2}=81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 81=243$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$32 \left(-9\right)=-288$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-288 + 64 + 243=19$$ $$y^{\prime}(-9)=19>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-8;- \frac{8}{3})$ возьмём $x=- \frac{16}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{16}{3})=3 \left(- \frac{16}{3}\right)^{2} + 32 \left(- \frac{16}{3}\right) + 64$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(- \frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{256}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{256}{9}=\frac{256}{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$32 \left(- \frac{16}{3}\right)=- \frac{512}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{512}{3} + 64 + \frac{256}{3}=- \frac{64}{3}$$ $$y^{\prime}(- \frac{16}{3})=- \frac{64}{3}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(- \frac{8}{3};\infty)$ возьмём $x=- \frac{5}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{5}{3})=3 \left(- \frac{5}{3}\right)^{2} + 32 \left(- \frac{5}{3}\right) + 64$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(- \frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{25}{9}=\frac{25}{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$32 \left(- \frac{5}{3}\right)=- \frac{160}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{160}{3} + \frac{25}{3} + 64=19$$ $$y^{\prime}(- \frac{5}{3})=19>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-8$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-8$$ Ответ: $-8$.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время после выезда мотоциклиста. Величина t в формуле обозначает время. Расстояние от города обозначено буквой $S$ и измеряется в километрах. Нужно найти момент, когда $S=154$ км. В задаче время t измеряется в часах, а ответ потребуется в минутах. Переведём единицы после решения. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$S=v_0t+\frac{at^2}{2}$$ Вместо левой части записываем требуемую величину 154, вместо начальной скорости — 60, вместо ускорения — 32. Неизвестным остаётся только время t: $$154=60t+\frac{32t^2}{2}$$ Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. $$\frac{32}{2}=16$$ После этой операции формула имеет вид: $$16 t^{2} + 60 t=154$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 154 из обеих частей. Получаем уравнение: $$16 t^{2} + 60 t - 154=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель 2: $$8 t^{2} + 30 t - 77=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=8,\qquad B=30,\qquad C=-77$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(30)^2=900$$ $$4AC=4\cdot(8)\cdot(-77)=-2464$$ $$D=B^2-4AC=900-(-2464)=3364$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{3364}=58$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(30)+58}{2\cdot(8)}=\frac{28}{16}=\frac{7}{4}$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(30)-58}{2\cdot(8)}=\frac{-88}{16}=- \frac{11}{2}$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Корень $- \frac{11}{2}$ отрицателен, то есть относился бы ко времени до начала отсчёта. Его исключаем. Корень $\frac{7}{4}$ положителен и подходит. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$S(\frac{7}{4})=16 \left(\frac{7}{4}\right)^{2} + 60 \left(\frac{7}{4}\right)$$ Возводим число в степень с показателем 2. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{7^2}{4^2}=\frac{7\cdot7}{4\cdot4}=\frac{49}{16}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$16 \cdot \frac{49}{16}=49$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$60 \cdot \frac{7}{4}=105$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$49 + 105=154$$ Получили 154, как требовалось в условии. Шаг 6. Переводим часы в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому: $$\frac74\cdot60=\frac{7\cdot60}{4}=7\cdot15=105.$$ Ответ: $105$ мин.

Нужно получить скалярное произведение — одно число. Координат в условии нет, зато известны длины векторов и угол между ними. Поэтому используем формулу через длины и косинус угла. $$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha$$ Для угла $60^\circ$ табличное значение косинуса равно $1/2$. Подставляем все три известных значения: $$\vec a\cdot\vec b=3\cdot7\cdot\frac12$$ Сначала перемножим длины, затем умножим на половину: $$3\cdot7=21$$ $$21\cdot\frac12=\frac{21}{2}=10{,}5$$ Ответ: $10{,}5$. Положительный знак согласуется с тем, что угол между векторами острый.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую производительность. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 2. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{323}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{323}{v+2}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 2 ч. $$\frac{323}v-\frac{323}{v+2}=2$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v: $$\frac{323(v+2)-323v}{v(v+2)}=2$$ Раскрываем скобки в числителе: $$323(v+2)-323v=323v+323\cdot2-323v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$323\cdot2=646$$ $$\frac{646}{v(v+2)}=2$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$646=2v(v+2)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 2: $$v(v+2)=v^2+2v$$ $$646=2v^2+2\cdot2v$$ $$2\cdot2=4$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$2 v^{2} + 4 v - 646=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2. $$v^{2} + 2 v - 323=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-323$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(2)^2=4$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-323)=-1292$$ $$D=B^2-4AC=4-(-1292)=1296$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1296}=36$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+36}{2\cdot(1)}=\frac{34}{2}=17$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-36}{2\cdot(1)}=\frac{-38}{2}=-19$$ Значение $v=-19$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=17$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=17$$ $$v_{\text{быстр}}=17+2=19$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{323}{17}=19$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{323}{19}=17$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=19-17=2$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая производительность, поэтому выбираем 19 деталей/ч. Ответ: $19$ деталей/ч.

Нужно найти точку минимума функции $$y=9x-\ln((x-2)^9)-8.$$ В этой формулировке «точка минимума» — это значение $x$, при переходе через которое функция сначала убывает, затем возрастает. Найдём его по знаку производной. Значение $y$ в окончательный ответ здесь подставлять не требуется. Шаг 1. Проверим область определения и упростим логарифм. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $$(x-2)^9>0.$$ Степень 9 нечётная: отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, положительное — положительным, ноль даёт ноль. Поэтому условие равносильно $x-2>0$. Прибавляем 2 к обеим частям: $$x>2.$$ На этой области $x-2>0$, поэтому можно применить свойство $\ln(u^n)=n\ln u$: $$\ln((x-2)^9)=9\ln(x-2).$$ Исходная функция принимает вид $$y=9x-9\ln(x-2)-8.$$ Шаг 2. Найдём производную. Производная $9x$ равна 9. Для логарифма используем $(\ln u)'=u'/u$: здесь $u=x-2$, $u'=1$, поэтому $$(\ln(x-2))'=\frac1{x-2}.$$ Множитель $-9$ сохраняем, а производная постоянного числа $-8$ равна 0: $$y'=9-\frac9{x-2}.$$ Приводим к общему знаменателю $x-2$: $$9=\frac{9(x-2)}{x-2},$$ $$y'=\frac{9(x-2)-9}{x-2}.$$ Раскрываем скобки: $9(x-2)=9x-18$. Тогда $$y'=\frac{9x-18-9}{x-2}=\frac{9x-27}{x-2}.$$ Шаг 3. Найдём, где производная равна нулю. В области $x>2$ знаменатель ненулевой, поэтому дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю: $$9x-27=0.$$ Прибавляем 27 к обеим частям, затем делим на 9: $$9x=27,\qquad x=\frac{27}9=3.$$ Число 3 удовлетворяет ограничению $x>2$. Шаг 4. Проверим изменение знака производной. Знаменатель $x-2$ положителен на всей области определения. Значит, знак производной определяется числителем. При $2<x<3$ имеем $9x<27$, следовательно, $9x-27<0$ и $y'<0$: функция убывает. При $x>3$ имеем $9x>27$, следовательно, $9x-27>0$ и $y'>0$: функция возрастает. Итак, слева от 3 значения уменьшаются, справа от 3 увеличиваются. Поэтому $x=3$ — точка минимума. Проверка нуля производной: $$y'(3)=9-\frac9{3-2}=9-\frac91=9-9=0.$$ Ответ: $3$.

План. Сначала найдём в плоскости сечения прямую, параллельную $SA$. Затем построим само пересечение с гранью $SAD$ и вычислим его длину по подобию треугольников. а) Почему плоскость параллельна $SA$. Диагонали квадрата пересекаются и делятся пополам, поэтому $O$ — середина $AC$. В треугольнике $SAC$ точки $O$ и $M$ — середины двух сторон. Отрезок, соединяющий середины сторон треугольника, параллелен третьей стороне: $$OM\parallel SA.$$ Прямая $SA$ лежит в плоскости $SAC$. Плоскость $OMK$ пересекает её по $OM$: точка $K$ находится на $BC$, но не в плоскости $SAC$. Прямые $SA$ и $OM$ параллельны и различны, следовательно, общих точек у $SA$ и плоскости $OMK$ нет. Это и означает $$SA\parallel(OMK).$$ б) Как выглядит нужный отрезок. След плоскости $OMK$ в основании — прямая $OK$. Обозначим через $L$ её пересечение с $AD$. Найдём положение $L$, чтобы потом применить подобие. Возьмём в плоскости основания координаты $A(0;0)$, $B(2;0)$, $C(2;2)$, $D(0;2)$. Центр квадрата имеет координаты $O(1;1)$. Отношение $BK:KC=3:1$ означает, что всё ребро разбито на четыре равные части: $$BK=\frac34\cdot2=\frac32,\qquad K\left(2;\frac32\right).$$ При увеличении первой координаты от 1 до 2 вторая увеличивается от 1 до $3/2$, то есть на $1/2$. Поэтому уравнение $OK$ имеет вид $$y-1=\frac12(x-1),\qquad y=\frac{x+1}{2}.$$ На $AD$ первая координата равна нулю. Подставляем её: $$y=\frac{0+1}{2}=\frac12,\qquad AL=\frac12.$$ Отсюда $$DL=AD-AL=2-\frac12=\frac32.$$ В грани $SAD$ через $L$ проведём прямую, параллельную $SA$. Она пересечёт $SD$ в точке $T$. Поскольку плоскость $OMK$ содержит направление $SA$, эта прямая принадлежит ей. Значит, искомое пересечение грани и плоскости — отрезок $LT$. Треугольники $DLT$ и $DAS$ подобны: угол при $D$ общий, а $LT\parallel AS$. Соответствующие стороны дают $$\frac{LT}{SA}=\frac{DL}{DA}=\frac{3/2}{2}=\frac34.$$ Осталось найти боковое ребро $SA$. Диагональ квадрата со стороной 2 равна $2\sqrt2$, а $O$ — её середина: $$OA=\frac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$ Высота $SO$ перпендикулярна основанию, поэтому треугольник $SOA$ прямоугольный. По теореме Пифагора $$SA^2=SO^2+OA^2=(\sqrt{14})^2+(\sqrt2)^2=14+2=16,$$ $$SA=\sqrt{16}=4.$$ Теперь находим длину сечения: $$LT=\frac34\cdot4=3.$$ Ответ: б) $3$.

В выражении есть угол, который вдвое больше одного из углов знаменателя. Это подсказывает формулу синуса двойного угла: она создаст в числителе те же множители, что стоят в знаменателе. $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Проверим удвоение данного угла: $$2\cdot34^\circ=68^\circ$$ $$\sin68^\circ=2\sin34^\circ\cos34^\circ$$ Два угла знаменателя в сумме дают прямой угол: $$34^\circ+56^\circ=90^\circ$$ Используем формулу для дополняющих углов: $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$. $$\cos56^\circ=\\sin34^\circ$$ Подставим обе замены в исходную дробь. В числителе и знаменателе окажутся одинаковые синус и косинус: $$\frac{3\cdot2\sin34^\circ\cos34^\circ}{\sin34^\circ\cos34^\circ}$$ Угол $34^\circ$ острый: его синус и косинус положительны, а потому не равны нулю. Можно сократить оба этих множителя. $$3\cdot2=6$$ Ответ: $6$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{3\pi}{8}$. Используем тождество: $$2\sin t\cos t=\sin2t$$ Разделим обе части формулы на 2, чтобы выразить именно произведение: $$\sin t\cos t=\frac{\sin2t}{2}$$ Поэтому исходное выражение принимает вид: $$E=5\sqrt{2}\cdot\frac{\sin2t}{2}$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot3\pi}{8}=\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{3\pi}{4}=\pi-\frac\pi4$$ Угол лежит во второй четверти. По формуле приведения синус угла π−π/4 равен синусу π/4. $$\sin(\frac{3\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим табличное значение. Множители 2 в знаменателях перемножаются: $$E=\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Квадратный корень, умноженный сам на себя, даёт подкоренное число. Поэтому: $$E=\frac{5\cdot2}{4}=\frac{10}{4}=2{,}5$$ Ответ: $2{,}5$.

а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. На единичной окружности углы $x$ и $-x$ симметричны относительно горизонтальной оси: горизонтальная координата сохраняется, вертикальная меняет знак. Поэтому $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$.Формулы двойного угла получаются из формул суммы при равных углах: $$ \sin2x=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x; $$ $$ \cos2x=\cos(x+x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x. $$ В последних двух записях использовано $\sin^2x+\cos^2x=1$ — равенство координат единичной окружности по теореме Пифагора. Выберем ту запись, которая оставит в уравнении одну функцию.Заменим косинус отрицательного аргумента и двойного угла: $$ 2\cos^2x-1+\cos x=0;\qquad2\cos^2x+\cos x-1=0. $$ Обозначим $t=\cos x$, обязательно $-1\le t\le1$: $$ 2t^2+t-1=0. $$ Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=2$, $B=1$, $C=-1$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения: $$ D=B^2-4AC=(1)^2-4\cdot(2)\cdot(-1)=1+8=9. $$ Извлечём квадратный корень из дискриминанта: $$ \sqrt D=\sqrt{9}=3,\qquad 3^2=3\cdot3=9. $$ При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления: $$ t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-1+3}{4}=\frac24=\frac12; $$ $$ t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1. $$ Оба значения лежат между −1 и 1. Возвращаемся к косинусу: $$ \cos x=\frac12\quad\text{или}\quad\cos x=-1. $$ Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы. Для $\cos x=\frac12$ нужна горизонтальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности. $$ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Координата по горизонтали равна $-1$ только в одной крайней точке окружности. Поэтому повторение происходит через полный оборот $2\pi$. $$ x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а): $$ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$ б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии. Серия 1: $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$. $$ -\frac{7\pi}{2}\le \frac{\pi}{3}+2\pi n\le -2\pi;\qquad -\frac{7}{2}\le \frac{1}{3}+2n\le -2. $$ $$ -\frac{7}{2}-(\frac{1}{3})\le 2n\le -2-(\frac{1}{3});\qquad -\frac{23}{12}\le n\le -\frac{7}{6}. $$ Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке. Серия 2: $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$. $$ -\frac{7\pi}{2}\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n\le -2\pi;\qquad -\frac{7}{2}\le -\frac{1}{3}+2n\le -2. $$ $$ -\frac{7}{2}-(-\frac{1}{3})\le 2n\le -2-(-\frac{1}{3});\qquad -\frac{19}{12}\le n\le -\frac{5}{6}. $$ Подходящие целые значения: $n=-1$. Подставим каждое: $$ n=-1:\qquad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot(-1)=-\frac{7\pi}{3}. $$ Серия 3: $x=\pi+2\pi n$. $$ -\frac{7\pi}{2}\le \pi+2\pi n\le -2\pi;\qquad -\frac{7}{2}\le 1+2n\le -2. $$ $$ -\frac{7}{2}-(1)\le 2n\le -2-(1);\qquad -\frac{9}{4}\le n\le -\frac{3}{2}. $$ Подходящие целые значения: $n=-2$. Подставим каждое: $$ n=-2:\qquad x=\pi+2\pi\cdot(-2)=-3\pi. $$ Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б): $$ x=-3\pi,\quad -\frac{7\pi}{3}. $$

Нужно получить ровно две разные пары $(x;y)$. Второе уравнение выражает $y$ через $x$, поэтому каждому допустимому $x$ отвечает одна пара. Подставим $y=3x+a$ в первое уравнение: $$(x^2-5x-(3x+a)+3)\sqrt{x-(3x+a)+3}=0,$$ Раскроем скобки и соберём слагаемые: $$(x^2-8x-a+3)\sqrt{-2x-a+3}=0.$$ Корень определён при неотрицательном подкоренном выражении: $$-2x-a+3\ge0\ \Longleftrightarrow\ -2x\ge a-3\ \Longleftrightarrow\ x\le\frac{3-a}{2}=L.$$ При делении на отрицательное число знак неравенства поменялся. В допустимой области произведение равно нулю, если нулевой хотя бы один множитель. Сам квадратный корень равен нулю при $x=L$; это один корень при любом $a$. Теперь найдём корни другого множителя. Для выделения полного квадрата прибавим и вычтем 16: $$x^2-8x-a+3=(x^2-8x+16)-a-13=(x-4)^2-a-13.$$ $$(x-4)^2=a+13.$$ Если $a<-13$, правая часть отрицательна и дополнительных корней нет: остаётся только $L$. Если $a\ge-13$, введём $u=\sqrt{a+13}\ge0$. Тогда: $$a=u^2-13,\quad x_-=4-u,\quad x_+=4+u,$$ $$L=\frac{3-(u^2-13)}2=\frac{16-u^2}2=8-\frac{u^2}2.$$ Кандидат учитывается только при $x\le L$. Для меньшего корня: $$4-u\le8-\frac{u^2}2\ \Longleftrightarrow\ 8-2u\le16-u^2$$ $$u^2-2u-8\le0,\qquad u^2-2u-8=u(u-4)+2(u-4)=(u-4)(u+2).$$ Поскольку $u+2>0$, деление на него сохраняет знак: $u\le4$. Для большего корня: $$4+u\le8-\frac{u^2}2\ \Longleftrightarrow\ u^2+2u-8\le0,$$ $$u^2+2u-8=u(u+4)-2(u+4)=(u-2)(u+4).$$ Здесь $u+4>0$, поэтому требуется $u\le2$. Равенство в этих проверках означает, что кандидат совпал с уже учтённым $L$. Считаем различные корни. При $u=0$ оба $x_\pm=4$, а $L=8$: два корня. При $0<u<2$ оба кандидата допустимы и отличаются от $L$: три корня. При $u=2$ имеем $x_-=2$, $x_+=L=6$: два корня. При $2<u<4$ только $x_-$ дополняет $L$: два корня. При $u=4$ имеем $x_-=L=0$, а $x_+=8$ недопустим: один. При $u>4$ оба кандидата недопустимы: один. Значит, подходит $u=0$ либо $2\le u<4$. Возвращаемся к $a$: $$u=0\ \Longrightarrow\ a=-13;$$ $$2\le\sqrt{a+13}<4\ \Longleftrightarrow\ 4\le a+13<16\ \Longleftrightarrow\ -9\le a<3.$$ Ответ: $\{-13\}\cup[-9;3)$. Каждому найденному $x$ соответствует единственное $y=3x+a$, поэтому число пар совпадает с числом посчитанных корней.

Сначала найдём общее число спортсменов: сложим количества из всех перечисленных стран. $$4+7=11$$ $$11+5=16$$ $$16+4=20$$ Всего $20$ участников. Нужную страну представляют $7$ участников: это спортсмены из Бразилии. Порядок определяется случайным жребием. На заранее выбранном месте каждый участник имеет одинаковый шанс оказаться; номер места не меняет долю представителей нужной страны. Поэтому применяем классическое определение вероятности: $$P=\frac{\text{число подходящих участников}}{\text{число всех участников}}$$ $$P=\frac{7}{20}$$ Для перевода в десятичную дробь домножим числитель и знаменатель на одно и то же число: $$\frac{7}{20}=\frac{7\cdot5}{20\cdot5}=\frac{35}{100}$$ $$\frac{7}{20}=0{,}35$$ Ответ: $0{,}35$. Вероятность лежит между 0 и 1, как и должно быть.