В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ $—$ центр основания пирамиды, точка $M$ $—$ середина ребра $SC,$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:1,$ а $AB=2$ и $SO=\sqrt{14}.$
а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA.$
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $3$.
Решение
План. Сначала найдём в плоскости сечения прямую, параллельную $SA$. Затем построим само пересечение с гранью $SAD$ и вычислим его длину по подобию треугольников.
а) Почему плоскость параллельна $SA$. Диагонали квадрата пересекаются и делятся пополам, поэтому $O$ — середина $AC$. В треугольнике $SAC$ точки $O$ и $M$ — середины двух сторон. Отрезок, соединяющий середины сторон треугольника, параллелен третьей стороне:
$$OM\parallel SA.$$
Прямая $SA$ лежит в плоскости $SAC$. Плоскость $OMK$ пересекает её по $OM$: точка $K$ находится на $BC$, но не в плоскости $SAC$. Прямые $SA$ и $OM$ параллельны и различны, следовательно, общих точек у $SA$ и плоскости $OMK$ нет. Это и означает
$$SA\parallel(OMK).$$
б) Как выглядит нужный отрезок. След плоскости $OMK$ в основании — прямая $OK$. Обозначим через $L$ её пересечение с $AD$. Найдём положение $L$, чтобы потом применить подобие.
Возьмём в плоскости основания координаты $A(0;0)$, $B(2;0)$, $C(2;2)$, $D(0;2)$. Центр квадрата имеет координаты $O(1;1)$. Отношение $BK:KC=3:1$ означает, что всё ребро разбито на четыре равные части:
$$BK=\frac34\cdot2=\frac32,\qquad K\left(2;\frac32\right).$$
При увеличении первой координаты от 1 до 2 вторая увеличивается от 1 до $3/2$, то есть на $1/2$. Поэтому уравнение $OK$ имеет вид
$$y-1=\frac12(x-1),\qquad y=\frac{x+1}{2}.$$
На $AD$ первая координата равна нулю. Подставляем её:
$$y=\frac{0+1}{2}=\frac12,\qquad AL=\frac12.$$
Отсюда
$$DL=AD-AL=2-\frac12=\frac32.$$
В грани $SAD$ через $L$ проведём прямую, параллельную $SA$. Она пересечёт $SD$ в точке $T$. Поскольку плоскость $OMK$ содержит направление $SA$, эта прямая принадлежит ей. Значит, искомое пересечение грани и плоскости — отрезок $LT$.
Треугольники $DLT$ и $DAS$ подобны: угол при $D$ общий, а $LT\parallel AS$. Соответствующие стороны дают
$$\frac{LT}{SA}=\frac{DL}{DA}=\frac{3/2}{2}=\frac34.$$
Осталось найти боковое ребро $SA$. Диагональ квадрата со стороной 2 равна $2\sqrt2$, а $O$ — её середина:
$$OA=\frac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$
Высота $SO$ перпендикулярна основанию, поэтому треугольник $SOA$ прямоугольный. По теореме Пифагора
$$SA^2=SO^2+OA^2=(\sqrt{14})^2+(\sqrt2)^2=14+2=16,$$
$$SA=\sqrt{16}=4.$$
Теперь находим длину сечения:
$$LT=\frac34\cdot4=3.$$
Ответ: б) $3$.