В основании прямой призмы $ABCD{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ лежит параллелограмм $ABCD.$ На рёбрах ${A}_{1}{B}_{1},$ ${B}_{1}{C}_{1}$ и $BC$ отмечены точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно, причём ${B}_{1}K:K{C}_{1}=1:2.$ Четырёхугольник $AMKN$ $—$ равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.
а) Докажите, что точка $N$ $—$ середина ребра $BC.$
б) Найдите площадь трапеции $AMKN,$ если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) 5√37/6
Решение
План. Сначала установим, какие две стороны трапеции являются основаниями. Затем выразим параллельность через доли рёбер. Это определит нужные точки; метрические данные используем отдельно.
Обозначим векторы $AB$, $AD$ через $\mathbf u$, $\mathbf v$, вертикальный вектор бокового ребра призмы — через $\mathbf w$. Точка $A$ будет началом. Пусть
$$M=t\mathbf u+\mathbf w,\quad K=\mathbf u+k\mathbf v+\mathbf w,\quad N=\mathbf u+n\mathbf v,$$
где $t=A_1M/A_1B_1$, $k=B_1K/B_1C_1$, $n=BN/BC$.
Какие стороны параллельны. Если бы основаниями были $AM$ и $NK$, их направляющие векторы $t\mathbf u+\mathbf w$ и $(k-n)\mathbf v+\mathbf w$ были бы пропорциональны. Вертикальная составляющая у обоих равна $\mathbf w$, поэтому коэффициент пропорциональности был бы равен 1. Тогда и сами векторы были бы равны, а значит, основания имели бы равные длины. Но по условию длины оснований различны. Поэтому основания — $AN$ и $MK$.
Векторы этих сторон:
$$\overrightarrow{AN}=\mathbf u+n\mathbf v,\qquad \overrightarrow{MK}=(1-t)\mathbf u+k\mathbf v.$$
Они параллельны, то есть второй является первым, умноженным на некоторое число $\lambda$. Векторы $\mathbf u$, $\mathbf v$ непараллельны, поэтому их коэффициенты сравниваются отдельно:
$$1-t=\lambda,\qquad k=\lambda n.$$
Поскольку $0\le t\le1$, имеем $0<\lambda\le1$. Основания различны, поэтому на самом деле $\lambda<1$: $MK$ — меньшее основание, $AN$ — большее.
а) Находим $N$. Меньшее основание равно 2, большее — 3. Значит,
$$\lambda=\frac{MK}{AN}=\frac23.$$
Из $B_1K:KC_1=1:2$ получаем
$$k=\frac1{1+2}=\frac13.$$
Подставляем в $k=\lambda n$:
$$\frac13=\frac23n,\qquad n=\frac13\cdot\frac32=\frac12.$$
Следовательно, $BN/BC=1/2$, то есть $N$ — середина $BC$. Одновременно
$$t=1-\lambda=1-\frac23=\frac13.$$
б) Находим высоту самой трапеции. Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований, но стороны $AN$, $MK$ могут быть сдвинуты ещё и в горизонтальном направлении. Этот сдвиг нельзя игнорировать.
Из формулы объёма прямой призмы $V=S_{ABCD}h$:
$$S_{ABCD}=\frac{12}{2}=6.$$
Пусть $M_0$ — проекция $M$ на основание. Тогда $M_0\in AB$ и
$$AM_0=\frac13 AB.$$
Поскольку $N$ — середина $BC$, треугольник $ABN$ имеет ту же высоту из $A$ к $BC$, что треугольник $ABC$, но половинное основание. А треугольник $ABC$ занимает половину параллелограмма:
$$S_{ABC}=\frac62=3,\qquad S_{ABN}=\frac12\cdot3=\frac32.$$
Треугольники $AM_0N$ и $ABN$ имеют общую высоту из $N$ к $AB$, а их основания относятся как $AM_0:AB=1:3$. Поэтому
$$S_{AM_0N}=\frac13\cdot\frac32=\frac12.$$
Возьмём теперь $AN=3$ основанием того же треугольника. Расстояние $d$ от $M_0$ до $AN$ удовлетворяет
$$\frac12 AN\cdot d=\frac12,\qquad \frac32d=\frac12,\qquad d=\frac13.$$
Проекция верхнего основания $MK$ параллельна $AN$, поэтому $d$ — горизонтальное расстояние между основаниями трапеции. Вертикальное расстояние равно высоте призмы 2. Эти составляющие перпендикулярны; высота трапеции по Пифагору:
$$H=\sqrt{2^2+\left(\frac13\right)^2}=\sqrt{4+\frac19}=\sqrt{\frac{37}{9}}=\frac{\sqrt{37}}3.$$
Площадь трапеции — полусумма оснований, умноженная на её высоту:
$$S_{AMKN}=\frac{2+3}{2}\cdot\frac{\sqrt{37}}3=\frac{5\sqrt{37}}6.$$
Ответ: б) $\frac{5\sqrt{37}}6$.