ФИПИ 0B28A5 — Сечение многогранников

Секущая плоскость перпендикулярна диагонали и проходит через известную точку. Это позволяет получить её уравнение через скалярное произведение. Направим оси координат вдоль рёбер $AB,AD,AA_1$ и возьмём начало в $A$. Тогда: $$A=(0;0;0),\quad B=(5;0;0),\quad D=(0;3;0),\quad A_1=(0;0;4),$$ $$C_1=(5;3;4),\qquad D_1=(0;3;4).$$ Координаты середины отрезка — полусуммы координат концов. Поэтому: $$M=\left(\frac{0+5}{2};\frac{0+3}{2};\frac{0+4}{2}\right)=\left(\frac52;\frac32;2\right).$$ Диагональ имеет направление: $$u=\overrightarrow{AC_1}=(5;3;4).$$ Пусть $X=(x;y;z)$ — любая точка плоскости $\alpha$. Вектор $MX$ лежит в плоскости и перпендикулярен её нормали $u$, поэтому скалярное произведение равно нулю: $$u\cdot\overrightarrow{MX}=0.$$ Вычислим его по координатам: $$5(x-5/2)+3(y-3/2)+4(z-2)=0.$$ Раскроем скобки: $$5x-25/2+3y-9/2+4z-8=0.$$ Перенесём числовые слагаемые вправо: $$5x+3y+4z=25/2+9/2+8=34/2+8=17+8=25.$$ Получили уравнение плоскости: $$5x+3y+4z=25.$$ а) Проверим $D_1=(0;3;4)$: $$5\cdot0+3\cdot3+4\cdot4=0+9+16=25.$$ Координаты удовлетворяют уравнению, значит, $D_1\in\alpha$. б) У всех точек ребра $A_1B_1$ вторая координата 0, третья 4, а первая меняется от 0 до 5. Подставим $y=0,z=4$: $$5x+3\cdot0+4\cdot4=25,$$ $$5x+16=25,$$ $$5x=25-16=9,$$ $$x=9/5.$$ Это число лежит между 0 и 5, значит, точка пересечения действительно лежит на ребре. Обозначим её через $X$. Ребро направлено вдоль оси $x$, поэтому длины частей равны разностям первых координат: $$A_1X=9/5-0=9/5,$$ $$XB_1=5-9/5=25/5-9/5=16/5.$$ Обе длины содержат общий множитель $1/5$. Сократив его в отношении, получаем: $$A_1X:XB_1=(9/5):(16/5)=9:16.$$ Ответ: а) доказано; б) $9:16$.