Дана правильная четырёхугольная призма $ABCD{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}.$ Плоскость $\alpha$ проходит через вершины ${B}_{1}$ и $D$ и пересекает рёбра $A{A}_{1}$ и $C{C}_{1}$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $M{B}_{1}KD$ $—$ ромб.
а) Докажите, что точка $M$ $—$ середина ребра $A{A}_{1}.$
б) Найдите высоту призмы $ABCD{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1},$ если площадь её основания $ABCD$ равна 3, а площадь ромба $M{B}_{1}KD$ равна 6.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) M — середина AA₁; б) 3√2
Решение
План. Введём координаты, чтобы выразить условие ромба через равенство его сторон. После этого площадь найдём через диагонали ромба.
Обозначим сторону квадратного основания через $a$, высоту призмы через $h$. Выберем взаимно перпендикулярные оси вдоль $AB$, $AD$ и $AA_1$:
$$A(0;0;0),\ B(a;0;0),\ C(a;a;0),\ D(0;a;0),\ B_1(a;0;h).$$
Пусть $AM=m$, $CK=k$. Тогда
$$M(0;0;m),\qquad K(a;a;k).$$
а) Находим положение $M$. Плоскость через $M$, $B_1$, $D$ не вертикальна: их проекции $A$, $B$, $D$ на основание не лежат на одной прямой. Поэтому её уравнение можно записать в виде $z=m+px+qy$. Подставим $B_1$ и $D$:
$$h=m+pa,\qquad 0=m+qa.$$
Отсюда
$$pa=h-m,\qquad qa=-m.$$
Точка $K$ находится в этой же плоскости. Подставляем её координаты:
$$k=m+pa+qa=m+(h-m)-m=h-m.$$
В ромбе соседние стороны $MB_1$ и $B_1K$ равны. Квадрат длины отрезка равен сумме квадратов разностей его координат:
$$MB_1^2=a^2+(h-m)^2,$$
$$B_1K^2=a^2+(k-h)^2=a^2+((h-m)-h)^2=a^2+m^2.$$
Приравниваем и вычитаем $a^2$ из обеих частей:
$$a^2+(h-m)^2=a^2+m^2,$$
$$h^2-2hm+m^2=m^2,$$
$$h^2-2hm=0,\qquad h(h-2m)=0.$$
Высота $h$ положительна, поэтому нулю равен второй множитель:
$$h-2m=0,\qquad m=\frac h2.$$
Значит, $AM=MA_1=h/2$: точка $M$ — середина $AA_1$. Одновременно $k=h-m=h/2$, то есть $K$ — середина $CC_1$.
б) Используем площадь ромба. Диагональ $MK$ горизонтальна и имеет ту же длину, что диагональ основания:
$$MK^2=a^2+a^2=2a^2,\qquad MK=a\sqrt2.$$
Вектор второй диагонали $DB_1$ имеет координаты $(a;-a;h)$, поэтому
$$DB_1^2=a^2+(-a)^2+h^2=2a^2+h^2,$$
$$DB_1=\sqrt{2a^2+h^2}.$$
Диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре прямоугольных треугольника. Сумма их площадей равна половине произведения диагоналей:
$$S=\frac12 MK\cdot DB_1=\frac12\sqrt{2a^2}\sqrt{2a^2+h^2}.$$
Площадь основания $a^2=3$, площадь сечения $S=6$. Подставляем:
$$6=\frac12\sqrt6\sqrt{6+h^2},$$
$$12=\sqrt6\sqrt{6+h^2}.$$
Обе части положительны; возводим в квадрат:
$$144=6(6+h^2)=36+6h^2,$$
$$6h^2=144-36=108,$$
$$h^2=\frac{108}{6}=18,\qquad h=\sqrt{18}=3\sqrt2.$$
Ответ: б) $3\sqrt2$.