ФИПИ 3C8708 — Сечение многогранников

План. Плоскость перпендикулярна основанию, поэтому вместе с каждой своей точкой содержит вертикаль через неё. Найдём её след в основании по проекциям $M$ и $K$ и затем площадь сечения. Выберем координаты $$A(0;0;0),\quad B(8;0;0),\quad C(8;8;0),\quad D(0;8;0),\quad S(4;4;h).$$ Центр основания $O(4;4;0)$. По Пифагору $$OA^2=4^2+4^2=32,$$ $$h^2=SA^2-OA^2=7^2-32=49-32=17,\qquad h=\sqrt{17}.$$ Из $AM=2$ следует $M(2;0;0)$. Точка $K$ проходит одну седьмую ребра от $S$ к $B$, поскольку $SK=1$, $SB=7$: $$K=S+\frac17(B-S),$$ $$K=\left(4+\frac47;4-\frac47;h-\frac h7\right)=\left(\frac{32}{7};\frac{24}{7};\frac{6h}{7}\right).$$ а) Проверяем принадлежность $C$. След вертикальной плоскости в основании проходит через $M$ и проекцию $K_0(32/7;24/7;0)$. Направление этого следа: $$\overrightarrow{MK_0}=\left(\frac{32}{7}-2;\frac{24}{7};0\right)=\left(\frac{18}{7};\frac{24}{7};0\right)=\frac67(3;4;0).$$ А для $C$: $$\overrightarrow{MC}=(8-2;8-0;0)=(6;8;0)=2(3;4;0).$$ Векторы пропорциональны. Значит, $C$ находится на том же следе и принадлежит плоскости $\alpha$. б) Строим и измеряем сечение. В основании это отрезок $MC$, в грани $SAB$ — $MK$, в грани $SBC$ — $KC$. Остальные грани плоскость не пересекает внутри: например, её уравнение $4x-3y=8$ даёт для $A,D,S$ соответственно $0,-24,4$, то есть значения меньше 8, а для $B$ — 32, больше 8; только рёбра из $B$ к $A,S,C$ могут быть пересечены. Значит, сечение — треугольник $MKC$. Его основание: $$MC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$$ Проекция $K_0$ лежит на $MC$: параметр от $M$ к $C$ равен $(18/7)/6=3/7$, он между 0 и 1. Вертикаль $KK_0$ перпендикулярна основанию, следовательно, и $MC$. Это высота треугольника: $$KK_0=\frac{6h}{7}=\frac{6\sqrt{17}}7.$$ Поэтому $$S=\frac12 MC\cdot KK_0=\frac12\cdot10\cdot\frac{6\sqrt{17}}7=\frac{30\sqrt{17}}7.$$ Ответ: б) $\frac{30\sqrt{17}}7$.