В правильной треугольной призме $ABC{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ отметили точки $M$ и $K$
на рёбрах $A{A}_{1}$ и ${A}_{1}{B}_{1}$ соответственно. Известно, что ${A}_{1}M=2MA,$ ${A}_{1}K=K{B}_{1}.$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно
грани $AB{B}_{1}{A}_{1}.$
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину ${C}_{1}.$
б) Найдите площадь сечения призмы $ABC{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ плоскостью $\alpha ,$ если все рёбра призмы равны $12.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $30\sqrt3$.
Решение
План. Найдём уравнение секущей плоскости в координатах. Оно покажет, какие рёбра пересекает сечение. Затем вычислим площадь получившегося треугольника.
Пусть все рёбра призмы равны $a$. В равностороннем основании высота равна
$$\sqrt{a^2-(a/2)^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2}.$$
Выберем координаты
$$A(0;0;0),\quad B(a;0;0),\quad C\left(\frac a2;\frac{a\sqrt3}{2};0\right).$$
У верхних вершин первые две координаты те же, а третья равна $a$. Точка $M$ делит $AA_1$ так, что
$$AM=\frac{1a}{3},\qquad M\left(0;0;\frac{1a}{3}\right).$$
Грань $ABB_1A_1$ имеет уравнение $y=0$. Плоскость, перпендикулярная этой грани, содержит направление оси $y$: её уравнение не зависит от $y$. Поэтому она имеет вид $z=px+q$. Подстановка $M$ даёт
$$q=\frac{1a}{3}.$$
По условию $K$ — середина $A_1B_1$, поэтому $K(a/2;0;a)$. Подставим её: $$a=p\frac a2+\frac a3,\qquad p\frac a2=\frac{2a}{3},\qquad p=\frac{2a}{3}\cdot\frac2a=\frac43.$$
Таким образом, уравнение плоскости:
$$z=\frac{1a}{3}+\frac{4}{3}x.$$
а) Проверяем требуемую точку. Для вершины $C_1$ имеем $x=a/2$, $z=a$. Подставляем первую координату в правую часть: $$\frac a3+\frac43\cdot\frac a2=\frac a3+\frac{2a}{3}=a.$$ Получили её третью координату. Значит, $C_1$ принадлежит секущей плоскости.
Как выглядит всё сечение. Обозначим середину $A_1B_1$ через $K$. На грани $ABB_1A_1$ сечение идёт по $MK$, на верхнем основании — по $KC_1$, на грани $ACC_1A_1$ — по $MC_1$. Нижнее основание не пересекается, поскольку при $x\ge0$ правая часть уравнения положительна. На рёбрах $BB_1$ значение правой части больше $a$, поэтому их секущая плоскость не достигает внутри призмы. На ребре $CC_1$ она достигает высоты $a$ только в $C_1$. Следовательно, дополнительных вершин нет, и сечение — треугольник $MKC_1$.
б) Площадь. Отрезок $KC_1$ параллелен оси $y$, а $MK$ лежит в плоскости $y=0$. Поэтому они перпендикулярны, и треугольник прямоугольный при $K$. Длина первого катета:
$$KC_1=\frac{a\sqrt3}{2}.$$
У второго катета горизонтальная составляющая равна $a/2$, вертикальная — $a-1a/3=2a/3$. По теореме Пифагора
$$MK^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac{2a}{3}\right)^2=\frac{a^2}{4}+\frac{4a^2}{9}=\frac{25a^2}{36},$$
$$MK=\frac{a\sqrt{25}}6.$$
При $a=12$ получаем $$KC_1=\frac{12\sqrt3}{2}=6\sqrt3,\qquad MK=\frac{12\sqrt{25}}6=\frac{12\cdot5}6=10.$$ Площадь прямоугольного треугольника: $$S=\frac12 MK\cdot KC_1=\frac12\cdot10\cdot6\sqrt3=30\sqrt3.$$ Ответ: б) $30\sqrt3$.