ФИПИ 6F3F6D — Сечение многогранников

План. Сначала достроим четвёртую вершину сечения. Для объёмов разрежем одну из полученных частей на пирамиду с основанием в квадрате и небольшой тетраэдр. Каждый их объём сравним с исходным через площади и высоты. а) Сечение и его симметрия. В треугольнике $SCD$ проведём через $M$ прямую, параллельную $CD$. Пусть она пересекает $SC$ в $N$. Из подобия $SMN$ и $SDC$: $$\frac{SN}{SC}=\frac{SM}{SD}=\frac2{2+1}=\frac23,$$ $$SN:NC=2:1,\qquad MN=\frac23CD.$$ Отрезок $PQ$, соединяющий середины противоположных сторон квадрата $BC$ и $AD$, параллелен $CD$. Поэтому $PQ$ и $MN$ — параллельные прямые, определяющие одну плоскость. Она содержит $M,P,Q$, значит, совпадает с секущей плоскостью. Таким образом, $N$ тоже входит в сечение. В основании след плоскости — $PQ$. Он отделяет вершины $C,D$ от $A,B$. В боковых гранях сечение пересекает $SC,SD$ в $N,M$ и больше боковых рёбер не пересекает. Получается трапеция $PQMN$. Плоскость симметрии правильной пирамиды через $S$ и середины $AB,CD$ меняет местами $A,B$ и $D,C$, значит, $Q,P$ и $M,N$. Следовательно, она переводит одну боковую сторону трапеции в другую. Эти стороны равны, и трапеция равнобедренная. б) Разбиение меньшей части. Пусть объём всей пирамиды $V$, площадь квадрата $S_0$, высота $h$, то есть $V=S_0h/3$. Часть со стороны $CD$ можно разбить по треугольнику $MPC$ на пирамиду $MPCDQ$ и тетраэдр $MPCN$. Основание первой пирамиды — прямоугольник $PCDQ$, занимающий половину квадрата. Точка $M$ находится на доле $DM/DS=1/3$ от основания к вершине, поэтому её высота равна $h/3$. Значит, $$V_{MPCDQ}=\frac13\cdot\frac{S_0}{2}\cdot\frac h3=\frac{S_0h}{18}=\frac16V.$$ Для второго тетраэдра сначала сравним треугольники $PCN$ и $BCS$ в одной грани. Из вершины $C$ их стороны лежат на тех же лучах, причём $$\frac{CP}{CB}=\frac12,\qquad \frac{CN}{CS}=1-\frac23=\frac13.$$ Их общий угол при $C$ одинаков, поэтому по формуле площади $ab\sin\gamma/2$: $$\frac{S_{PCN}}{S_{BCS}}=\frac12\cdot\frac13=\frac16.$$ Расстояние от $M$ до плоскости $SBC$ составляет $SM/SD=2/3$ расстояния от $D$ до этой плоскости: точка $S$ в ней лежит, а расстояние вдоль $SD$ меняется линейно. Поэтому $$V_{MPCN}=\frac16\cdot\frac23V_{DBCS}=\frac19V_{DBCS}.$$ Тетраэдр $DBCS$ имеет основанием половину квадрата $BCD$ и высоту $h$, следовательно, $$V_{DBCS}=\frac12V,\qquad V_{MPCN}=\frac19\cdot\frac12V=\frac1{18}V.$$ Суммируем: $$V_{CD}=\frac16V+\frac1{18}V=\frac3{18}V+\frac1{18}V=\frac29V.$$ Вторая часть: $$V_{AB}=V-\frac29V=\frac79V.$$ Поэтому $$V_{CD}:V_{AB}=\frac29:\frac79=2:7.$$ Ответ: б) $2:7$.