ФИПИ 7ee2FA — Сечение многогранников

План. Отношение на $CD$ найдём в координатах по рёбрам. Для площади нужны уже прямоугольные координаты; поэтому после пункта а) явно сменим систему и вычислим площади двух треугольников сечения. а) Отношение на $CD$. Возьмём начало в $A$, направления — вдоль $AB,AC,AD$, каждое ребро считаем единицей своего направления. Перпендикулярность этих осей не требуется: длины в них пока не считаем. Тогда $$A(0;0;0),\quad B(1;0;0),\quad C(0;1;0),\quad D(0;0;1).$$ Доли по условию дают $$M\left(\frac13;0;0\right),\qquad N\left(0;0;\frac13\right),$$ $$L=B+\frac13(C-B)=\left(\frac23;\frac13;0\right).$$ Плоскость имеет вид $ux+vy+wz=k$. Подставляя $M,N$, можно выбрать $k=1/3$, $u=w=1$. Подстановка $L$ даёт $$\frac23+\frac v3=\frac13,\qquad 2+v=1,\qquad v=-1.$$ Поэтому $$x-y+z=\frac13.$$ Пусть $K$ — пересечение плоскости с $CD$, $t=CK/CD$. Координаты точки на этом ребре: $$K=(0;1-t;t).$$ Подставляем: $$0-(1-t)+t=\frac13,\qquad -1+2t=\frac13,$$ $$2t=\frac43,\qquad t=\frac23.$$ Следовательно, $$CK:KD=\frac23:\frac13=2:1.$$ На вершинах $A,C$ выражение $x-y+z-1/3$ отрицательно, на $B,D$ — положительно. Поэтому пересекаются ровно рёбра $AB,BC,CD,DA$, и сечение — четырёхугольник $MLKN$. б) Переходим к прямоугольным осям. Для правильного тетраэдра с ребром 6 выберем $$A(0;0;0),\quad B(6;0;0),\quad C(3;3\sqrt3;0),\quad D(3;\sqrt3;2\sqrt6).$$ Высота основания равна $3\sqrt3$, центр основания — $(3;\sqrt3;0)$. Его расстояние до $A$ в квадрате равно $3^2+(\sqrt3)^2=12$, поэтому высота тетраэдра равна $\sqrt{36-12}=2\sqrt6$. Это объясняет координаты $D$. Применяем те же доли к настоящим координатам: $$M=\frac13B=(2;0;0),$$ $$N=\frac13D=\left(1;\frac{\sqrt3}{3};\frac{2\sqrt6}{3}\right),$$ $$L=B+\frac13(C-B)=(5;\sqrt3;0),$$ $$K=C+\frac23(D-C)=\left(3;3\sqrt3-\frac{4\sqrt3}{3};\frac{4\sqrt6}{3}\right)=\left(3;\frac{5\sqrt3}{3};\frac{4\sqrt6}{3}\right).$$ Площадь треугольника $MLN$. Разобьём четырёхугольник диагональю $LN$. Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения двух его сторон: длина этого произведения равна площади параллелограмма на тех же сторонах. Для первого треугольника берём $$\mathbf u=\overrightarrow{ML}=(3;\sqrt3;0),\quad \mathbf v=\overrightarrow{MN}=\left(-1;\frac{\sqrt3}{3};\frac{2\sqrt6}{3}\right).$$ Компоненты векторного произведения считаются по правилу $$\mathbf u\times\mathbf v=(u_yv_z-u_zv_y;\ u_zv_x-u_xv_z;\ u_xv_y-u_yv_x).$$ Подставляем по одной компоненте: $$c_x=\sqrt3\cdot\frac{2\sqrt6}{3}-0=\frac{2\sqrt{18}}3=2\sqrt2,$$ $$c_y=0-3\cdot\frac{2\sqrt6}{3}=-2\sqrt6,$$ $$c_z=3\cdot\frac{\sqrt3}{3}-\sqrt3(-1)=\sqrt3+\sqrt3=2\sqrt3.$$ Отсюда $$|\mathbf u\times\mathbf v|=\sqrt{(2\sqrt2)^2+(-2\sqrt6)^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{8+24+12}=\sqrt{44}=2\sqrt{11},$$ $$S_{MLN}=\frac12\cdot2\sqrt{11}=\sqrt{11}.$$ Площадь треугольника $LKN$. Теперь $$\mathbf u=\overrightarrow{LK}=\left(-2;\frac{2\sqrt3}{3};\frac{4\sqrt6}{3}\right),$$ $$\mathbf v=\overrightarrow{LN}=\left(-4;-\frac{2\sqrt3}{3};\frac{2\sqrt6}{3}\right).$$ Вычисляем три компоненты: $$c_x=\frac{2\sqrt3}{3}\cdot\frac{2\sqrt6}{3}-\frac{4\sqrt6}{3}\left(-\frac{2\sqrt3}{3}\right)=\frac{4\sqrt{18}+8\sqrt{18}}9=\frac{12\cdot3\sqrt2}{9}=4\sqrt2,$$ $$c_y=\frac{4\sqrt6}{3}(-4)-(-2)\frac{2\sqrt6}{3}=\frac{-16\sqrt6+4\sqrt6}{3}=-4\sqrt6,$$ $$c_z=(-2)\left(-\frac{2\sqrt3}{3}\right)-\frac{2\sqrt3}{3}(-4)=\frac{4\sqrt3+8\sqrt3}{3}=4\sqrt3.$$ Поэтому $$|\mathbf u\times\mathbf v|=\sqrt{(4\sqrt2)^2+(-4\sqrt6)^2+(4\sqrt3)^2}=\sqrt{32+96+48}=\sqrt{176}=4\sqrt{11},$$ $$S_{LKN}=\frac12\cdot4\sqrt{11}=2\sqrt{11}.$$ Складываем площади двух неперекрывающихся треугольников: $$S_{MLKN}=\sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}.$$ Ответ: б) $3\sqrt{11}$.