В основании прямой призмы $ABC{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ лежит равнобедренный
треугольник $ABC$ с основанием $AB.$ Точка $P$ делит ребро $AB$
в отношении $AP:PB=1:3,$ а точка $Q$ $—$ середина ребра ${A}_{1}{C}_{1}.$
Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha ,$ перпендикулярную отрезку $PQ.$
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB.$
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ,$ считая от точки $P,$ если известно, что $AB=A{A}_{1},$ $AB:BC=2:5.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $3:2$.
Решение
План. Выберем оси так, чтобы равнобедренное основание было симметрично. Тогда окажется, что $PQ$ не имеет составляющей вдоль $AB$. Это сразу задаст направление секущей плоскости. Нужное отношение найдём подстановкой точки деления в её уравнение.
Пусть $AB=2b$, высота основания из $C$ равна $c$, высота призмы равна $h$. Возьмём координаты
$$A(-b;0;0),\quad B(b;0;0),\quad C(0;c;0).$$
У верхних вершин третья координата равна $h$. Точка $P$ занимает четверть $AB$, поэтому
$$AP=\frac{2b}{4}=\frac b2,\qquad P\left(-b+\frac b2;0;0\right)=\left(-\frac b2;0;0\right).$$
Точки $Q$, $M$ — середины $A_1C_1$ и $BC$ соответственно. Их координаты:
$$Q\left(-\frac b2;\frac c2;h\right),\qquad M\left(\frac b2;\frac c2;0\right).$$
Тогда
$$\overrightarrow{PQ}=\left(0;\frac c2;h\right).$$
Плоскость $\alpha$ перпендикулярна этому отрезку. Следовательно, вектор $PQ$ является её нормалью. Уравнение плоскости через $M$ получаем из условия перпендикулярности вектора от $M$ к произвольной точке $(x;y;z)$ нормали:
$$0\left(x-\frac b2\right)+\frac c2\left(y-\frac c2\right)+h(z-0)=0,$$
$$\frac c2\left(y-\frac c2\right)+hz=0.$$
а) Почему плоскость параллельна $AB$. Вектор $AB=(2b;0;0)$ перпендикулярен нормали $PQ$, поскольку их скалярное произведение равно нулю. Кроме того, уравнение плоскости не зависит от $x$, то есть направление $AB$ лежит в ней. При этом точки $AB$ имеют $y=z=0$, и их подстановка даёт $-c^2/4$, а не нуль. Значит, сама прямая $AB$ не лежит в $\alpha$, а параллельна ей.
б) Сначала выражаем размеры через $b$. Из $AB=AA_1$ следует $h=2b$. Отношение $AB:BC=2:5$ даёт
$$\frac{2b}{BC}=\frac25,\qquad BC=5b.$$
В половине равнобедренного основания по теореме Пифагора
$$c^2=BC^2-b^2=(5b)^2-b^2=25b^2-b^2=24b^2.$$
Кроме того,
$$h^2=(2b)^2=4b^2.$$
Пусть $T$ — пересечение плоскости с $PQ$, а $t=PT/PQ$. Координаты точки на отрезке $PQ$:
$$T=P+t(Q-P)=\left(-\frac b2;\frac{ct}{2};ht\right).$$
Подставляем их в уравнение плоскости:
$$\frac c2\left(\frac{ct}{2}-\frac c2\right)+h(ht)=0,$$
$$\frac{c^2t}{4}-\frac{c^2}{4}+h^2t=0,$$
$$t\left(\frac{c^2}{4}+h^2\right)=\frac{c^2}{4}.$$
Подставляем найденные квадраты:
$$t(6b^2+4b^2)=6b^2,$$
$$10b^2t=6b^2,\qquad t=\frac6{10}=\frac35.$$
Точка действительно внутри отрезка, поскольку $0<3/5<1$. Поэтому
$$PT:TQ=\frac35:\left(1-\frac35\right)=\frac35:\frac25=3:2.$$
Ответ: б) $3:2$.