В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ известны длины рёбер: $AB=2\sqrt{2}$, $AD=6$, $A{A}_{1}=10$. На рёбрах $A{A}_{1}$ и $B{B}_{1}$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём ${A}_{1}E:EA=3:2$ и ${B}_{1}F:FB=3:7$. Точка $T$ $—$ середина ребра ${B}_{1}{C}_{1}$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку ${D}_{1}$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\frac{45}{2}$.
Решение
Выберем координаты вдоль трёх взаимно перпендикулярных рёбер. Тогда положение точек на рёбрах можно записать точно, а принадлежность плоскости проверить подстановкой.
Обозначим $AB=p$, $AD=q$, $AA_1=h$. Нижнее основание поместим в $z=0$:
$$A=(0;0;0),\quad B=(p;0;0),\quad D=(0;q;0),\quad C=(p;q;0).$$
Все вершины верхнего основания имеют третью координату $h$. Здесь:
$$p=2 \sqrt{2},\quad q=6,\quad h=10.$$
Сначала найдём высоты точек $E,F$ из отношений частей рёбер. Если $A_1E:EA=3:2$, то всё ребро состоит из $3+2=5$ одинаковых частей, а $EA$ занимает 2 из них:
$$EA=h\frac{2}{5}=\frac{10\cdot2}{5}=4.$$
Аналогично $B_1F:FB=3:7$ даёт:
$$FB=h\frac{7}{10}=\frac{10\cdot7}{10}=7.$$
Точка $T$ — середина $B_1C_1$, поэтому её вторая координата равна $q/2$:
$$E=(0;0;4),\quad F=(2 \sqrt{2};0;7),\quad T=(2 \sqrt{2};3;10).$$
Получим уравнение плоскости, а не будем брать его готовым. Так как у точек $E,F,T$ разные первые две координаты, запишем плоскость в виде:
$$z=c+\alpha x+\beta y.$$
Подстановка $E$ сразу даёт $c=4$. Подставим $F$:
$$7=4+\alpha\cdot2 \sqrt{2}.$$
Вычтем 4 и разделим на $2 \sqrt{2}>0$:
$$\alpha=\frac{7-4}{2 \sqrt{2}}=\frac{3}{2 \sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{4}.$$
Теперь подставим $T$. Сумма $c+\alpha p$ уже равна высоте $F$, то есть 7. Поэтому:
$$10=7+\beta\cdot3,$$
$$\beta=\frac{10-7}{3}=\frac{3}{3}=1.$$
Полученное уравнение:
$$z=4+(\frac{3 \sqrt{2}}{4})x+(1)y.$$
а) Проверим вершину $D_1=(0;6;10)$. Правая часть при её координатах равна:
$$4+(\frac{3 \sqrt{2}}{4})\cdot0+(1)\cdot6=4+6=10.$$
Она совпала с третьей координатой $D_1$. Следовательно, эта вершина лежит в плоскости $EFT$.
б) Сначала установим форму сечения. На вертикальных рёбрах $AA_1,BB_1$ плоскость пересекает параллелепипед в $E,F$. На верхней грани она проходит через $D_1,T$. На ребре $CC_1$ потребовалась бы высота:
$$4+(\frac{3 \sqrt{2}}{4})\cdot2 \sqrt{2}+(1)\cdot6=7+6=13>10.$$
Эта точка была бы выше параллелепипеда, поэтому пересечения с $CC_1$ нет. В нижней грани пересечения тоже нет: $z=4+\alpha x+\beta y$ положительно при $0\le x\le p$, $0\le y\le q$. Таким образом, сечение — четырёхугольник $EFTD_1$.
Его ортогональная проекция на основание — трапеция с вершинами $(0;0),(p;0),(p;q/2),(0;q)$. Параллельные стороны этой трапеции имеют длины $q$ и $q/2$, расстояние между ними — $p$. Площадь проекции:
$$S_0=\frac{q+q/2}{2}\,p=\frac{3pq}{4}.$$
Подставим размеры:
$$S_0=\frac{3\cdot2 \sqrt{2}\cdot6}{4}=9 \sqrt{2}.$$
Чтобы перейти от площади проекции к площади наклонной фигуры, найдём угол $\theta$ её плоскости с основанием. При ортогональном проецировании площадь плоской фигуры умножается на $\cos\theta$: проекция сохраняет одну длину в плоскости, а перпендикулярную ей высоту уменьшает в $\cos\theta$ раз. Поэтому:
$$S_0=S\cos\theta,\qquad S=\frac{S_0}{\cos\theta}.$$
У плоскости $z=e+\alpha x+\beta y$ нормаль (перпендикулярный ей вектор) равна $n=(-\alpha;-\beta;1)$. Это видно из уравнения $-\alpha x-\beta y+z=e$: коэффициенты при координатах задают нормаль. У основания $z=0$ нормаль $k=(0;0;1)$.
Косинус меньшего угла между плоскостями равен модулю косинуса между их нормалями:
$$\cos\theta=\frac{|n\cdot k|}{|n|\,|k|}=\frac{1}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+1}}.$$
Подставим в формулу площади:
$$S=S_0\sqrt{1+\alpha^2+\beta^2}.$$
Вычислим квадрат множителя:
$$1+(\frac{3 \sqrt{2}}{4})^2+(1)^2=1+\frac{9}{8}+1=\frac{25}{8}.$$
Извлечём положительный корень и умножим на площадь проекции:
$$\sqrt{\frac{25}{8}}=\frac{5 \sqrt{2}}{4},$$
$$S=9 \sqrt{2}\cdot\frac{5 \sqrt{2}}{4}=\frac{45}{2}.$$
Ответ: а) плоскость проходит через $D_1$; б) площадь сечения равна $\frac{45}{2}$.