ФИПИ ce2ec7 — Сечение многогранников

План. Найдём уравнение секущей плоскости в координатах. Оно покажет, какие рёбра пересекает сечение. Затем вычислим площадь получившегося треугольника. Пусть все рёбра призмы равны $a$. В равностороннем основании высота равна $$\sqrt{a^2-(a/2)^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2}.$$ Выберем координаты $$A(0;0;0),\quad B(a;0;0),\quad C\left(\frac a2;\frac{a\sqrt3}{2};0\right).$$ У верхних вершин первые две координаты те же, а третья равна $a$. Точка $M$ делит $AA_1$ так, что $$AM=\frac{2a}{3},\qquad M\left(0;0;\frac{2a}{3}\right).$$ Грань $ABB_1A_1$ имеет уравнение $y=0$. Плоскость, перпендикулярная этой грани, содержит направление оси $y$: её уравнение не зависит от $y$. Поэтому она имеет вид $z=px+q$. Подстановка $M$ даёт $$q=\frac{2a}{3}.$$ Плоскость содержит $C_1(a/2;a\sqrt3/2;a)$. Подставляем её координаты: $$a=p\frac a2+\frac{2a}{3},\qquad p\frac a2=\frac a3,\qquad p=\frac a3\cdot\frac2a=\frac23.$$ Таким образом, уравнение плоскости: $$z=\frac{2a}{3}+\frac{2}{3}x.$$ а) Проверяем требуемую точку. На ребре $A_1B_1$ третья координата равна $a$. Решаем уравнение: $$a=\frac{2a}{3}+\frac23x,\qquad \frac a3=\frac23x,\qquad x=\frac a3\cdot\frac32=\frac a2.$$ Получили точку $K(a/2;0;a)$, то есть середину $A_1B_1$. Как выглядит всё сечение. Обозначим середину $A_1B_1$ через $K$. На грани $ABB_1A_1$ сечение идёт по $MK$, на верхнем основании — по $KC_1$, на грани $ACC_1A_1$ — по $MC_1$. Нижнее основание не пересекается, поскольку при $x\ge0$ правая часть уравнения положительна. На рёбрах $BB_1$ значение правой части больше $a$, поэтому их секущая плоскость не достигает внутри призмы. На ребре $CC_1$ она достигает высоты $a$ только в $C_1$. Следовательно, дополнительных вершин нет, и сечение — треугольник $MKC_1$. б) Площадь. Отрезок $KC_1$ параллелен оси $y$, а $MK$ лежит в плоскости $y=0$. Поэтому они перпендикулярны, и треугольник прямоугольный при $K$. Длина первого катета: $$KC_1=\frac{a\sqrt3}{2}.$$ У второго катета горизонтальная составляющая равна $a/2$, вертикальная — $a-2a/3=1a/3$. По теореме Пифагора $$MK^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac{1a}{3}\right)^2=\frac{a^2}{4}+\frac{1a^2}{9}=\frac{13a^2}{36},$$ $$MK=\frac{a\sqrt{13}}6.$$ Площадь сечения равна $$S=\frac12\cdot\frac{a\sqrt{13}}6\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt{39}}{24}.$$ По условию $S=\sqrt{39}$. Поэтому $$\frac{a^2\sqrt{39}}{24}=\sqrt{39},\qquad \frac{a^2}{24}=1,\qquad a^2=24,$$ $$a=\sqrt{24}=2\sqrt6.$$ Высота правильной призмы равна её боковому ребру $a$. Ответ: б) $2\sqrt6$.