ФИПИ 0E8DDE — Сечение многогранников

План. Покажем, какие рёбра параллельны плоскости сечения. Это позволит построить прямоугольник, а его стороны найти по подобию треугольников. а) Перпендикулярность $MN$ рёбрам. У правильного тетраэдра все рёбра равны. Поэтому вершины $C$ и $D$ равноудалены от $A$ и $B$: $$CA=CB,\qquad DA=DB.$$ Все точки, равноудалённые от концов отрезка $AB$, образуют плоскость, проходящую через его середину $M$ перпендикулярно $AB$. Следовательно, эта плоскость содержит $C$, $D$ и $M$. В ней лежат как $MN$, так и $CD$. Отсюда $$MN\perp AB,\qquad CD\perp AB.$$ Аналогично $A$ и $B$ равноудалены от $C$ и $D$. Поэтому плоскость $ABN$ перпендикулярна $CD$. В ней лежит $MN$, значит, $$MN\perp CD.$$ Утверждение пункта а) доказано; заодно установлено, что направления $AB$ и $CD$ перпендикулярны. б) Построение сечения. По условию $MN$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Поэтому оба перпендикулярных $MN$ направления, $AB$ и $CD$, параллельны $\alpha$. Через $K$ в грани $ABC$ проведём $KL\parallel AB$, где $L\in AC$. Через $K$ в грани $BCD$ проведём $KT\parallel CD$, где $T\in BD$. Через $L$ в грани $ACD$ проведём $LU\parallel CD$, где $U\in AD$. Через $T$ в грани $ABD$ прямая, параллельная $AB$, придёт в ту же точку $U$: все эти линии лежат в одной плоскости $\alpha$. Таким образом, сечение — четырёхугольник $K L U T$. Его противоположные стороны параллельны $AB$ и $CD$, то есть это параллелограмм. Направления $AB$ и $CD$ перпендикулярны, поэтому он является прямоугольником. Длина ребра тетраэдра: $$BC=BK+KC=1+3=4.$$ В треугольнике $CBA$ отрезок $KL$ параллелен $BA$, поэтому треугольники $CKL$ и $CBA$ подобны: $$\frac{KL}{BA}=\frac{CK}{CB}=\frac34,$$ $$KL=4\cdot\frac34=3.$$ В треугольнике $BCD$ отрезок $KT$ параллелен $CD$. Треугольники $BKT$ и $BCD$ также подобны: $$\frac{KT}{CD}=\frac{BK}{BC}=\frac14,$$ $$KT=4\cdot\frac14=1.$$ Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон: $$S_{KLUT}=KL\cdot KT=3\cdot1=3.$$ Ответ: б) $3$.