ФИПИ 149319 — Сечение многогранников

План. Найдём стороны сечения через подобные треугольники. Чтобы доказать, что это прямоугольник, отдельно проверим перпендикулярность направлений $AC$ и $BD$. Пусть $E$ — середина $AC$, а $O$ — центр равностороннего основания $ABC$. Медиана $BE$ является также высотой основания, поэтому $BE\perp AC$. Центр $O$ лежит на $BE$. В правильной пирамиде высота $DO$ перпендикулярна основанию, в частности $DO\perp AC$. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BE$ и $DO$ плоскости $BDE$, значит, $$AC\perp(BDE),\qquad AC\perp BD.$$ а) Строим сечение. Через $T$ в грани $ADB$ проводим $TU\parallel DB$ до пересечения с $AB$. Через $U$ в основании проводим $UV\parallel AC$ до пересечения с $BC$. Через $T$ в грани $ADC$ проводим $TW\parallel AC$ до пересечения с $DC$. Через $V$ в грани $BCD$ проводим $VW\parallel BD$. Последняя линия приходит в ту же точку $W$, потому что все построенные линии принадлежат плоскости, проведённой через $T$ параллельно $AC$ и $BD$. Противоположные стороны четырёхугольника $TUVW$ параллельны. Следовательно, это параллелограмм. Его соседние стороны параллельны перпендикулярным прямым $AC$ и $BD$, поэтому все его углы прямые. Сечение является прямоугольником. б) Находим его стороны. Из заданного отношения $AT:TD=1:2$ получаем долю всего ребра: $$\frac{AT}{AD}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}.$$ В треугольнике $ADB$ отрезок $TU$ параллелен $DB$. Поэтому $ATU$ подобен $ADB$: $$\frac{AU}{AB}=\frac{TU}{DB}=\frac{AT}{AD}=\frac{1}{3}.$$ Тогда $$TU=9\cdot\frac{1}{3}=3.$$ Чтобы найти вторую сторону, вычислим, какую долю $AB$ занимает $BU$: $$\frac{BU}{BA}=1-\frac{AU}{AB}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$ В основании $UV\parallel AC$, поэтому треугольники $BUV$ и $BAC$ подобны: $$\frac{UV}{AC}=\frac{BU}{BA}=\frac{2}{3}.$$ Отсюда $$UV=5\cdot\frac{2}{3}=\frac{10}{3}.$$ Перемножаем стороны прямоугольника: $$S_{TUVW}=TU\cdot UV=3\cdot \frac{10}{3}=10.$$ Ответ: б) $10$.