ФИПИ 182CF4 — Сечение многогранников

План. Спроецируем пирамиду на основание вдоль $SO$: при такой проекции вершина $S$ переходит в $O$, а секущая плоскость — в среднюю линию трапеции. Это поможет найти, какие рёбра она пересекает. Затем вернёмся к настоящим длинам в сечении. Обозначим $AD=p$, $BC=q$, где $p>q$, а расстояние между основаниями трапеции — $H$. В основании введём координату $y$, равную расстоянию от прямой $AD$ в сторону $BC$. Тогда $$y_A=y_D=0,\qquad y_B=y_C=H.$$ Средняя линия $MN$ параллельна основаниям и находится ровно посередине между ними: $$y_M=y_N=\frac H2,\qquad MN=\frac{p+q}{2}.$$ Где находится $O$. Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны: углы при $O$ вертикальные, а углы у параллельных оснований равны. Коэффициент подобия равен $AD/BC=p/q$, поэтому так же относятся их высоты к основаниям: $$\frac{y_O}{H-y_O}=\frac pq.$$ Решаем: $$q y_O=p(H-y_O),\qquad q y_O=pH-p y_O,$$ $$(p+q)y_O=pH,\qquad y_O=\frac{pH}{p+q}.$$ Так как $p>q$, имеем $p/(p+q)>1/2$, следовательно, $y_O>H/2$. а) Строим сечение. Проецируем на основание по прямым, параллельным $SO$. Это именно параллельная проекция, она не обязана быть перпендикулярной. Плоскость $\alpha$ содержит это направление и пересекает основание по $MN$. Поэтому точка принадлежит $\alpha$ тогда и только тогда, когда её такая проекция лежит на $MN$. Рассмотрим точку $U=A+t(S-A)$ на $AS$, где $t=AU/AS$. Её проекция равна $A+t(O-A)$ и имеет координату $y=t y_O$. Для попадания на $MN$ нужно $$t y_O=\frac H2,\qquad t=\frac{H}{2y_O}=\frac{p+q}{2p}.$$ Это число между 0 и 1, поскольку $p>q>0$. Значит, плоскость пересекает само ребро $SA$. На $SD$ аналогично получаем точку $V=D+t(S-D)$ с той же долей $t$. На рёбрах $SB$, $SC$ проекции пробегают отрезки $OB$, $OC$. У всех их точек координата $y$ не меньше $y_O>H/2$, поэтому с $MN$ они не пересекаются. В основании плоскость проходит через $M,N$. Следовательно, полное сечение — четырёхугольник $MNUV$. В треугольнике $SAD$ точки $U,V$ имеют одинаковую долю от оснований рёбер, поэтому $$UV\parallel AD,\qquad UV=(1-t)AD.$$ Прямая $MN$ также параллельна $AD$. Длина верхнего основания: $$UV=\left(1-\frac{p+q}{2p}\right)p=\frac{2p-p-q}{2p}\,p=\frac{p-q}{2}.$$ Основания сечения параллельны и различны, значит, сечение — трапеция. б) Находим её высоту. При $p=10$, $q=8$: $$t=\frac{10+8}{2\cdot10}=\frac{18}{20}=\frac9{10},$$ $$MN=\frac{10+8}{2}=9,\qquad UV=\frac{10-8}{2}=1.$$ Пусть $U_0$ — проекция $U$ вдоль $SO$ на основание. Она лежит на $MN$, и $$\overrightarrow{U_0U}=t\overrightarrow{OS}.$$ Это следует из $U=A+t(S-A)$, $U_0=A+t(O-A)$: при вычитании остаётся $t(S-O)$. Таким образом, $$U_0U=t\,SO=\frac9{10}\cdot8=\frac{72}{10}=\frac{36}{5}.$$ По условию $SO\perp AD$. Обе параллельные стороны сечения параллельны $AD$, поэтому $U_0U$ перпендикулярен им. Значит, это настоящая высота трапеции, а не просто расстояние вдоль произвольной наклонной прямой. Считаем площадь: $$S=\frac{MN+UV}{2}\cdot U_0U=\frac{9+1}{2}\cdot\frac{36}{5}=5\cdot\frac{36}{5}=36.$$ Ответ: б) $36$.