ФИПИ 429E53 — Сечение многогранников

План. Сначала используем три прямоугольных треугольника у вершины $D$, чтобы найти боковые рёбра. Затем выберем оси вдоль этих перпендикулярных рёбер: так точки сечения получат простые координаты. а) Почему пирамида правильная. Обозначим $DA=x$, $DB=y$, $DC=z$. По теореме Пифагора в треугольниках $ADB$, $BDC$, $ADC$: $$x^2+y^2=AB^2,\quad y^2+z^2=BC^2,\quad x^2+z^2=AC^2.$$ Все правые части равны $(5\sqrt2)^2=2\cdot25=50$. Вычитая первые два равенства, получаем $x^2=z^2$, то есть $x=z$, поскольку длины положительны. Аналогично $x=y$. Тогда $$2x^2=50,\qquad x^2=25,\qquad x=5.$$ Итак, $$DA=DB=DC=5.$$ Основание $ABC$ равностороннее по условию. Если $H$ — проекция $D$ на основание, то из прямоугольных треугольников $DHA$, $DHB$, $DHC$: $$HA^2=DA^2-DH^2,\quad HB^2=DB^2-DH^2,\quad HC^2=DC^2-DH^2.$$ Равные боковые рёбра дают $HA=HB=HC$. Значит, $H$ — центр окружности, описанной около равностороннего основания, то есть его центр. Высота попадает в центр правильного основания, поэтому пирамида правильная. б) Координаты сечения. Направим оси из $D$ к $A$, $B$, $C$. Эти оси взаимно перпендикулярны: $$D(0;0;0),\quad A(5;0;0),\quad B(0;5;0),\quad C(0;0;5).$$ Условие $DM:MA=DN:NC=2:3$ означает $$DM=DN=\frac{2}{2+3}\cdot5=\frac25\cdot5=2.$$ Поэтому $$M(2;0;0),\qquad N(0;0;2).$$ Найдём площадь треугольника $MNB$. Стороны $BM$ и $BN$ равны: $$BM^2=2^2+(-5)^2=4+25=29,$$ $$BN^2=(-5)^2+2^2=25+4=29.$$ Таким образом, треугольник равнобедренный с основанием $MN$. Обозначим его середину через $T$: $$T\left(\frac{2+0}{2};0;\frac{0+2}{2}\right)=(1;0;1).$$ Медиана $BT$ равнобедренного треугольника является его высотой. Её длина: $$BT=\sqrt{1^2+(-5)^2+1^2}=\sqrt{1+25+1}=\sqrt{27}=3\sqrt3.$$ Основание: $$MN=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt2.$$ Площадь: $$S_{MNB}=\frac12 MN\cdot BT=\frac12\cdot2\sqrt2\cdot3\sqrt3=3\sqrt6.$$ Ответ: б) $3\sqrt6$.