ФИПИ 5c14cA — Сечение многогранников

План. Определим сечение как треугольник с основанием $BD$. По его площади найдём расстояние от $O$ до $SC$. Затем в прямоугольном треугольнике $SOC$ найдём высоту и доли, на которые делится гипотенуза $SC$. а) Почему плоскость содержит $B$ и $D$. В квадрате диагонали перпендикулярны: $$BD\perp AC.$$ Высота $SO$ перпендикулярна любой прямой основания, в частности $BD$. Следовательно, $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $SO$ плоскости $SAC$. Значит, $$BD\perp(SAC),\qquad BD\perp SC.$$ Плоскость $\alpha$ проходит через $O$ и перпендикулярна $SC$. Она содержит все направления через $O$, перпендикулярные $SC$, в том числе прямую $BD$. Поэтому $B,D\in\alpha$. б) Используем площадь сечения. В плоскости $SOC$ опустим перпендикуляр $OT$ на $SC$. Плоскость $\alpha$ содержит $OT$ и $BD$, поэтому сечение — треугольник $BDT$. Действительно, $T$ находится внутри $SC$ как основание высоты к гипотенузе прямоугольного треугольника; в остальных гранях следы идут от $T$ к $B,D$, а в основании — по диагонали $BD$. Так как $BD\perp(SAC)$, то $BD\perp OT$. Следовательно, $OT$ — высота треугольника $BDT$. При стороне квадрата 1 диагональ равна $\sqrt2$. Поэтому $$S_{BDT}=\frac12 BD\cdot OT=\frac{\sqrt2}{2}\,OT.$$ Подставляем заданную площадь: $$\frac{\sqrt2}{2}\,OT=\frac{\sqrt2}{3},\qquad \frac{OT}{2}=\frac13,\qquad OT=\frac23.$$ Обозначим $SO=h$. Половина диагонали основания: $$OC=\frac{\sqrt2}{2},\qquad OC^2=\frac12.$$ По Пифагору $$SC^2=h^2+\frac12.$$ Площадь треугольника $SOC$ можно выразить двумя способами: через перпендикулярные катеты $SO,OC$ и через гипотенузу $SC$ с высотой $OT$: $$\frac12 SO\cdot OC=\frac12 SC\cdot OT.$$ Сокращая $1/2$ и возводя положительные части в квадрат, получаем $$h^2\cdot\frac12=\left(h^2+\frac12\right)\cdot\frac49.$$ Умножаем на 18: $$9h^2=8h^2+4,\qquad h^2=4.$$ Тогда $$SC^2=4+\frac12=\frac92.$$ В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе даёт подобные треугольники $SOT$ и $SCO$. Отношение соответствующих сторон: $$\frac{ST}{SO}=\frac{SO}{SC},\qquad ST=\frac{SO^2}{SC}.$$ Делим на $SC$: $$\frac{ST}{SC}=\frac{SO^2}{SC^2}=\frac4{9/2}=\frac89.$$ Оставшаяся часть занимает долю $$\frac{TC}{SC}=1-\frac89=\frac19.$$ Следовательно, $$ST:TC=\frac89:\frac19=8:1.$$ Ответ: б) $8:1$, считая от $S$.