ФИПИ 6BFFF1 — Сечение многогранников

План. Найдём след секущей плоскости в верхнем основании по его параллельности нижнему. Затем для расстояния запишем уравнение плоскости. а) Строим трапецию. Плоскость сечения пересекает нижнее основание по $AC$. Верхнее основание параллельно нижнему, поэтому его след проходит через $K$ параллельно $AC$. Пусть он пересекает $B_1C_1$ в $L$. В треугольнике $B_1A_1C_1$ точка $K$ — середина $B_1A_1$, а $KL\parallel A_1C_1$. По теореме о средней линии $L$ — середина $B_1C_1$, причём $$KL=\frac12 A_1C_1=\frac12\cdot4=2.$$ Грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ дают стороны $AK$ и $CL$. Значит, полное сечение — четырёхугольник $AKLC$, где $KL\parallel AC$ и $AC=4$. По Пифагору в прямоугольных треугольниках $AA_1K$, $CC_1L$: $$AK^2=AA_1^2+A_1K^2=4^2+2^2=16+4=20,$$ $$CL^2=CC_1^2+C_1L^2=4^2+2^2=20.$$ Таким образом, $AK=CL=\sqrt{20}$, то есть боковые стороны трапеции равны. Она равнобедренная. б) Уравнение плоскости. Возьмём прямоугольные координаты $$A(0;0;0),\quad B(4;0;0),\quad C(2;2\sqrt3;0),\quad K(2;0;4).$$ Плоскость проходит через начало $A$, значит, её уравнение имеет вид $ux+vy+wz=0$. Подставляем $C,K$: $$2u+2\sqrt3v=0,\qquad 2u+4w=0.$$ Отсюда $u=-\sqrt3v$, $w=-u/2$. Можно взять $v=-2$, тогда $$u=2\sqrt3,\qquad w=-\sqrt3.$$ Получаем $$2\sqrt3x-2y-\sqrt3z=0.$$ Нормаль $(2\sqrt3;-2;-\sqrt3)$ имеет длину $$\sqrt{(2\sqrt3)^2+(-2)^2+(-\sqrt3)^2}=\sqrt{12+4+3}=\sqrt{19}.$$ Расстояние от точки до плоскости равно модулю подстановки её координат в уравнение, делённому на длину нормали. Для $B(4;0;0)$: $$d=\frac{|2\sqrt3\cdot4-2\cdot0-\sqrt3\cdot0|}{\sqrt{19}}=\frac{8\sqrt3}{\sqrt{19}}.$$ Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{19}$: $$d=\frac{8\sqrt3\sqrt{19}}{19}=\frac{8\sqrt{57}}{19}.$$ Ответ: б) $\frac{8\sqrt{57}}{19}$.