В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $AN=3NS.$
а) Докажите, что прямые $MN,$ $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение $BL:LC.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $BL:LC=3:1$.
Решение
План. Здесь важны отношения на рёбрах, а не длины или углы. Возьмём вершину $S$ за начало и обозначим векторы $SA,SB,SC$ через $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$. Они линейно независимы, поскольку пирамида не плоская. Поэтому при равенстве векторов можно отдельно сравнивать коэффициенты при каждом из трёх направлений.
Координаты середин:
$$M=\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2},\qquad K=\frac{\mathbf c}{2}.$$
Например, точка на $SA$ имеет только коэффициент при $\mathbf a$, а точка на $BC$ имеет вид $(1-t)\mathbf b+t\mathbf c$, где сумма двух коэффициентов равна 1.
Из $AN=3NS$ получаем $SN=SA/4$, то есть
$$N=\frac14\mathbf a.$$
а) Общая точка трёх прямых. Найдём пересечение $MN$ с $SB$. Точка на $MN$:
$$M+t(N-M)=\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2}+t\left(-\frac14\mathbf a-\frac12\mathbf b\right),$$
$$M+t(N-M)=\left(\frac12-\frac t4\right)\mathbf a+\left(\frac12-\frac t2\right)\mathbf b.$$
На прямой $SB$ коэффициент при $\mathbf a$ равен нулю:
$$\frac12-\frac t4=0,\qquad 2-t=0,\qquad t=2.$$
Тогда точка пересечения $R$:
$$R=\left(\frac12-\frac22\right)\mathbf b=-\frac12\mathbf b.$$
Она лежит на продолжении $BS$ за $S$, что допустимо: речь идёт о прямых, а не об отрезках.
По условию отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, поэтому их прямые лежат в одной плоскости $\beta$. Она содержит $M,N,K,L$, а значит, и всю прямую $MN$ с точкой $R$. Одновременно $R$ лежит в плоскости грани $SBC$, как точка прямой $SB$. Плоскости $\beta$ и $SBC$ различны, поскольку $M$ не лежит в $SBC$, и пересекаются по прямой $KL$. Поэтому $R\in KL$. Итак, $MN$, $KL$, $SB$ проходят через одну точку $R$.
б) Находим $L$. На прямой $RK$ точки имеют вид
$$R+u(K-R)=\frac{u-1}{2}\mathbf b+\frac u2\mathbf c.$$
Чтобы точка лежала на $BC$, сумма коэффициентов должна равняться 1:
$$\frac{u-1}{2}+\frac u2=1,$$
$$\frac{2u-1}{2}=1,\qquad 2u-1=2,\qquad u=\frac32.$$
Следовательно,
$$L=\frac{3/2-1}{2}\mathbf b+\frac{3/2}{2}\mathbf c=\frac14\mathbf b+\frac34\mathbf c.$$
Это точка ребра $BC$, проходящая три четверти пути от $B$ к $C$. Значит,
$$BL:LC=\frac34:\left(1-\frac34\right)=\frac34:\frac14=3:1.$$
Ответ: б) $3:1$.