В основании прямой призмы $ABC{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ лежит равнобедренный
треугольник $ABC$ с основанием $AB.$ Точка $P$ делит ребро $AB$
в отношении $AP:PB=1:3,$ а точка $Q$ $—$ середина ребра ${A}_{1}{C}_{1}.$
Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha ,$ перпендикулярную отрезку $PQ.$
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро ${A}_{1}{C}_{1},$ считая от точки ${A}_{1},$ если известно, что $AB=A{A}_{1},$ $AB:BC=2:5.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $1:5$.
Решение
План. Выберем оси так, чтобы равнобедренное основание было симметрично. Тогда окажется, что $PQ$ не имеет составляющей вдоль $AB$. Это сразу задаст направление секущей плоскости. Нужное отношение найдём подстановкой точки деления в её уравнение.
Пусть $AB=2b$, высота основания из $C$ равна $c$, высота призмы равна $h$. Возьмём координаты
$$A(-b;0;0),\quad B(b;0;0),\quad C(0;c;0).$$
У верхних вершин третья координата равна $h$. Точка $P$ занимает четверть $AB$, поэтому
$$AP=\frac{2b}{4}=\frac b2,\qquad P\left(-b+\frac b2;0;0\right)=\left(-\frac b2;0;0\right).$$
Точки $Q$, $M$ — середины $A_1C_1$ и $BC$ соответственно. Их координаты:
$$Q\left(-\frac b2;\frac c2;h\right),\qquad M\left(\frac b2;\frac c2;0\right).$$
Тогда
$$\overrightarrow{PQ}=\left(0;\frac c2;h\right).$$
Плоскость $\alpha$ перпендикулярна этому отрезку. Следовательно, вектор $PQ$ является её нормалью. Уравнение плоскости через $M$ получаем из условия перпендикулярности вектора от $M$ к произвольной точке $(x;y;z)$ нормали:
$$0\left(x-\frac b2\right)+\frac c2\left(y-\frac c2\right)+h(z-0)=0,$$
$$\frac c2\left(y-\frac c2\right)+hz=0.$$
а) Где плоскость пересекает $AC$. В середине $AC$ координаты равны $(-b/2;c/2;0)$. Подставляем их в уравнение плоскости: $$\frac c2\left(\frac c2-\frac c2\right)+h\cdot0=0.$$ Равенство выполнено. Вершины $A$ и $C$ в плоскости не лежат, поскольку их значения $y$ равны 0 и $c$, а на основании плоскость имеет след $y=c/2$. Значит, она действительно делит ребро $AC$ пополам.
б) Сначала выражаем размеры через $b$. Из $AB=AA_1$ следует $h=2b$. Отношение $AB:BC=2:5$ даёт
$$\frac{2b}{BC}=\frac25,\qquad BC=5b.$$
В половине равнобедренного основания по теореме Пифагора
$$c^2=BC^2-b^2=(5b)^2-b^2=25b^2-b^2=24b^2.$$
Кроме того,
$$h^2=(2b)^2=4b^2.$$
Пусть точка пересечения с $A_1C_1$ обозначена $T$, а $t=A_1T/A_1C_1$. При движении от $A_1$ к $C_1$ координаты меняются линейно:
$$T=(-b+bt;ct;h).$$
Подставляем в уравнение плоскости:
$$\frac c2\left(ct-\frac c2\right)+h^2=0,$$
$$\frac{c^2t}{2}-\frac{c^2}{4}+h^2=0.$$
Теперь подставляем $c^2=24b^2$, $h^2=4b^2$:
$$12b^2t-6b^2+4b^2=0,$$
$$12b^2t-2b^2=0.$$
Поскольку $b>0$, делим на $2b^2$:
$$6t-1=0,\qquad t=\frac16.$$
Значение лежит между 0 и 1, поэтому точка находится на самом ребре. Доли двух частей равны $1/6$ и $5/6$:
$$A_1T:TC_1=\frac16:\frac56=1:5.$$
Ответ: б) $1:5$.