В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 6,
а боковое ребро $SA$ равно $4\sqrt{3}.$ Точки $M$ и $N$ $—$ середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $MN$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану $CE$ основания в отношении $5:1,$ считая от точки $C.$
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha .$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $8+2\sqrt{10}$.
Решение
План. Найдём след вертикальной плоскости через середины $SA$ и $SB$. Он сразу покажет точку деления медианы и вершины сечения. Длины сторон сечения вычислим по Пифагору.
Пусть $E$ — середина $AB$. Введём координаты:
$$A(-3;0;0),\quad B(3;0;0),\quad C(0;3\sqrt3;0).$$
Высота основания $CE=3\sqrt3$, центр основания $O$ находится на трети этой высоты от $E$:
$$E(0;0;0),\quad O(0;\sqrt3;0),\quad S(0;\sqrt3;h).$$
Радиус основания:
$$OA^2=(-3)^2+(0-\sqrt3)^2=9+3=12.$$
Следовательно, высота пирамиды:
$$h^2=SA^2-OA^2=(4\sqrt3)^2-12=16\cdot3-12=48-12=36,$$
$$h=6.$$
У середин рёбер координаты равны полусуммам координат концов:
$$M\left(-\frac32;\frac{\sqrt3}{2};3\right),\qquad N\left(\frac32;\frac{\sqrt3}{2};3\right).$$
а) След плоскости и медиана. Прямая $MN$ параллельна оси $x$. Плоскость $\alpha$ также содержит вертикальное направление, поскольку перпендикулярна основанию. Значит, её уравнение
$$y=\frac{\sqrt3}{2}.$$
На медиане $CE$ первая и третья координаты равны нулю. Поэтому её пересечение с $\alpha$ — точка
$$T\left(0;\frac{\sqrt3}{2};0\right).$$
Длины частей медианы:
$$TE=\frac{\sqrt3}{2},$$
$$CT=3\sqrt3-\frac{\sqrt3}{2}=\frac{6\sqrt3-\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{2}.$$
Их отношение:
$$CT:TE=\frac{5\sqrt3}{2}:\frac{\sqrt3}{2}=5:1.$$
б) Вершины и стороны сечения. Пусть $U=AC\cap\alpha$, $V=BC\cap\alpha$. При движении от $A$ к $C$ координата $y$ меняется от 0 до $3\sqrt3$. Чтобы она стала $\sqrt3/2$, нужно пройти долю
$$\frac{\sqrt3/2}{3\sqrt3}=\frac16.$$
Значит,
$$U=A+\frac16(C-A)=\left(-3+\frac36;\frac{\sqrt3}{2};0\right)=\left(-\frac52;\frac{\sqrt3}{2};0\right).$$
По симметрии
$$V\left(\frac52;\frac{\sqrt3}{2};0\right).$$
Плоскость пересекает рёбра $SA,SB,AC,BC$ и не пересекает $AB,SC$: у концов каждого из последних рёбер значения $y$ лежат по одну сторону от $\sqrt3/2$. Следовательно, сечение — трапеция $UMNV$.
Её параллельные стороны:
$$UV=\frac52-\left(-\frac52\right)=5,\qquad MN=\frac32-\left(-\frac32\right)=3.$$
При переходе от $U$ к $M$ первая координата увеличивается на 1, третья — на 3, вторая не меняется. Поэтому
$$UM=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.$$
По симметрии $NV=\sqrt{10}$. Периметр:
$$P=UV+MN+UM+NV=5+3+\sqrt{10}+\sqrt{10}=8+2\sqrt{10}.$$
Ответ: б) $8+2\sqrt{10}$.