В основании прямой призмы $ABCD{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ лежит параллелограмм $ABCD$
с углом $60^{\circ}$ при вершине $A.$ На рёбрах ${A}_{1}{B}_{1},$ ${B}_{1}{C}_{1}$ и $BC$ отмечены
точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ $—$ равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.
а) Докажите, что точка $M$ $—$ середина ребра ${A}_{1}{B}_{1}.$
б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка $K$ делит ребро ${B}_{1}{C}_{1}$ в отношении ${B}_{1}K:K{C}_{1}=2:3.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $2\sqrt3$.
Решение
План. Сначала установим, какие две стороны трапеции являются основаниями. Затем выразим параллельность через доли рёбер. Это определит нужные точки; метрические данные используем отдельно.
Обозначим векторы $AB$, $AD$ через $\mathbf u$, $\mathbf v$, вертикальный вектор бокового ребра призмы — через $\mathbf w$. Точка $A$ будет началом. Пусть
$$M=t\mathbf u+\mathbf w,\quad K=\mathbf u+k\mathbf v+\mathbf w,\quad N=\mathbf u+n\mathbf v,$$
где $t=A_1M/A_1B_1$, $k=B_1K/B_1C_1$, $n=BN/BC$.
Какие стороны параллельны. Если бы основаниями были $AM$ и $NK$, их направляющие векторы $t\mathbf u+\mathbf w$ и $(k-n)\mathbf v+\mathbf w$ были бы пропорциональны. Вертикальная составляющая у обоих равна $\mathbf w$, поэтому коэффициент пропорциональности был бы равен 1. Тогда и сами векторы были бы равны, а значит, основания имели бы равные длины. Но по условию длины оснований различны. Поэтому основания — $AN$ и $MK$.
Векторы этих сторон:
$$\overrightarrow{AN}=\mathbf u+n\mathbf v,\qquad \overrightarrow{MK}=(1-t)\mathbf u+k\mathbf v.$$
Они параллельны, то есть второй является первым, умноженным на некоторое число $\lambda$. Векторы $\mathbf u$, $\mathbf v$ непараллельны, поэтому их коэффициенты сравниваются отдельно:
$$1-t=\lambda,\qquad k=\lambda n.$$
Поскольку $0\le t\le1$, имеем $0<\lambda\le1$. Основания различны, поэтому на самом деле $\lambda<1$: $MK$ — меньшее основание, $AN$ — большее.
а) Находим $M$. Меньшее основание равно 1, большее — 2. Поэтому
$$\lambda=\frac{MK}{AN}=\frac12,\qquad t=1-\lambda=\frac12.$$
Отсюда $A_1M/A_1B_1=1/2$, то есть $M$ — середина $A_1B_1$.
б) Находим размеры основания. По условию
$$k=\frac2{2+3}=\frac25.$$
Из $k=\lambda n$:
$$\frac25=\frac12n,\qquad n=\frac45.$$
Обозначим $AB=p$, $AD=q$, высоту призмы — $H$. У вектора $AM$ горизонтальная составляющая равна $\mathbf u/2$, вертикальная имеет длину $H$. У вектора $NK$ горизонтальная составляющая равна
$$k\mathbf v-n\mathbf v=\left(\frac25-\frac45\right)\mathbf v=-\frac25\mathbf v,$$
а вертикальная — та же. Поэтому по Пифагору
$$AM^2=\frac{p^2}{4}+H^2,\qquad NK^2=\frac{4q^2}{25}+H^2.$$
Трапеция равнобедренная, значит, $AM=NK$. Вычитаем $H^2$:
$$\frac{p^2}{4}=\frac{4q^2}{25},\qquad p^2=\frac{16q^2}{25},\qquad p=\frac45q.$$
Угол между $\mathbf u$ и $\mathbf v$ равен $60^\circ$. Для вектора $AN=\mathbf u+(4/5)\mathbf v$ раскрываем квадрат длины через скалярное произведение:
$$AN^2=p^2+\frac{16q^2}{25}+2\cdot p\cdot\frac45q\cos60^\circ,$$
$$AN^2=p^2+\frac{16q^2}{25}+\frac45pq.$$
Подставляем $AN=2$, $p=4q/5$:
$$4=\frac{16q^2}{25}+\frac{16q^2}{25}+\frac45\cdot\frac45q^2,$$
$$4=\frac{16q^2+16q^2+16q^2}{25}=\frac{48q^2}{25},$$
$$q^2=\frac{4\cdot25}{48}=\frac{25}{12}.$$
Площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними:
$$S_{ABCD}=pq\sin60^\circ=\frac45q^2\cdot\frac{\sqrt3}{2},$$
$$S_{ABCD}=\frac45\cdot\frac{25}{12}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{100\sqrt3}{120}=\frac{5\sqrt3}{6}.$$
Из формулы объёма $V=S_{ABCD}H$:
$$H=\frac5{5\sqrt3/6}=5\cdot\frac6{5\sqrt3}=\frac6{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3.$$
Ответ: б) $2\sqrt3$.