ФИПИ 8EEB4F — Сечение многогранников

План. Сначала найдём точку $K$ и дополнительную точку на диагонали $BD$. После этого разделим исходную пирамиду на два тетраэдра и вычислим объём части со стороны $CD$ через небольшие пирамиды с известными долями оснований и высот. а) Удобные координаты для отношений. Возьмём $A$ за начало, направление $AD$ — за первое, $AB$ — за второе, $AS$ — за третье. Масштаб первого направления выберем так, чтобы $$A(0;0;0),\quad D(8;0;0),\quad B(0;1;0),\quad C(3;1;0),\quad S(0;0;1).$$ Это координаты по трём независимым направлениям. Они сохраняют параллельность, отношения на рёбрах и отношения объёмов; прямые углы между этими осями не предполагаются, а длины по Пифагору в них считать нельзя. Из $SM:MD=3:2$ получаем $DM/DS=2/5$: $$M=D+\frac25(S-D)=\left(8-\frac{16}{5};0;\frac25\right)=\left(\frac{24}{5};0;\frac25\right).$$ Из $BN:NC=1:2$: $$N=B+\frac13(C-B)=(1;1;0).$$ Плоскость через $A$ имеет уравнение $ux+vy+wz=0$. Подставляя $N$, получаем $v=-u$; подставляя $M$: $$\frac{24}{5}u+\frac25w=0,\qquad 24u+2w=0,\qquad w=-12u.$$ Можно выбрать $u=1$. Следовательно, $$x-y-12z=0.$$ Пусть $t=SK/SC$. Точка $SC$ имеет координаты $(3t;t;1-t)$. Подставляем: $$3t-t-12(1-t)=0,$$ $$3t-t-12+12t=0,\qquad 14t=12,\qquad t=\frac67.$$ Поэтому $$SK:KC=\frac67:\frac17=6:1.$$ б) Дополнительная точка $T$. Пусть $T=BD\cap(AMN)$. Точка на $BD$ имеет вид $(8u;1-u;0)$, где $u=BT/BD$. Подстановка даёт $$8u-(1-u)=0,\qquad 9u=1,\qquad u=\frac19.$$ Значит, $$\frac{BT}{BD}=\frac19,\qquad \frac{DT}{DB}=\frac89.$$ Первый тетраэдр. Диагональ $BD$ делит пирамиду на $SABD$ и $SBCD$. Их основания имеют общую высоту трапеции и основания $AD=8$, $BC=3$. Поэтому объёмы относятся как $8:3$, то есть занимают доли $8/11$ и $3/11$ всей пирамиды. В $SABD$ часть со стороны $D$ — тетраэдр $DAMT$. По сравнению с $DABS$ три ребра из $D$ имеют доли $$\frac{DA}{DA}=1,\qquad \frac{DT}{DB}=\frac89,\qquad \frac{DM}{DS}=\frac25.$$ Объём изменяется в произведение этих долей: первые две меняют площадь основания, третья — высоту. Поэтому $$\frac{V_{DAMT}}{V_{SABD}}=1\cdot\frac89\cdot\frac25=\frac{16}{45}.$$ Второй тетраэдр. В $SBCD$ часть со стороны $CD$ — многогранник $DCNTMK$. Разобьём его на три тетраэдра: $DCNK$, $DNTK$, $DTMK$. Для каждого отдельно найдём объёмную долю от $SBCD$. У $DCNK$ сравниваем три ребра из $C$ с $CDBS$: $$\frac{CD}{CD}=1,\qquad \frac{CN}{CB}=\frac23,\qquad \frac{CK}{CS}=\frac17.$$ Отсюда $$\frac{V_{DCNK}}{V_{SBCD}}=1\cdot\frac23\cdot\frac17=\frac2{21}.$$ Для $DNTK$ берём основание $DNT$ в плоскости $DBC$. У треугольников $DNT$ и $DBN$ общая высота из $N$ к $BD$, а основания относятся как $DT:DB=8:9$. У треугольников $DBN$ и $DBC$ общая высота из $D$ к $BC$, а основания относятся как $BN:BC=1:3$. Поэтому $$\frac{S_{DNT}}{S_{DBC}}=\frac89\cdot\frac13=\frac8{27}.$$ Высота из $K$ к основанию составляет $CK/CS=1/7$ высоты из $S$, поскольку $C$ лежит в основании. Значит, $$\frac{V_{DNTK}}{V_{SBCD}}=\frac8{27}\cdot\frac17=\frac8{189}.$$ Для $DTMK$ берём основание $DTM$ в грани $DBS$. Две стороны из $D$ уменьшены в долях $DT/DB=8/9$, $DM/DS=2/5$, поэтому площадь основания составляет $$\frac{S_{DTM}}{S_{DBS}}=\frac89\cdot\frac25=\frac{16}{45}.$$ Расстояние от $K$ до плоскости $DBS$ составляет долю $SK/SC=6/7$ расстояния от $C$: точка $S$ в этой плоскости, а точка $K$ проходит $6/7$ пути от $S$ к $C$. Поэтому $$\frac{V_{DTMK}}{V_{SBCD}}=\frac{16}{45}\cdot\frac67=\frac{96}{315}=\frac{32}{105}.$$ Суммируем с общим знаменателем 945: $$\frac2{21}+\frac8{189}+\frac{32}{105}=\frac{90}{945}+\frac{40}{945}+\frac{288}{945}=\frac{418}{945}.$$ Возвращаемся ко всей пирамиде. Учитываем доли двух больших тетраэдров: $$\frac{V_{CD}}V=\frac8{11}\cdot\frac{16}{45}+\frac3{11}\cdot\frac{418}{945}.$$ Выполняем умножение и приводим к общему знаменателю: $$\frac{V_{CD}}V=\frac{128}{495}+\frac{1254}{10395}=\frac{128}{495}+\frac{418}{3465},$$ $$\frac{V_{CD}}V=\frac{896}{3465}+\frac{418}{3465}=\frac{1314}{3465}=\frac{146}{385}.$$ Вторая часть занимает $$1-\frac{146}{385}=\frac{239}{385}.$$ Значит, отношение объёмов частей $$V_{CD}:V_{AB}=146:239.$$ Ответ: б) $146:239$.