В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R.$ Прямые $RM$ и $RK$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $BL=3LC.$
а) Докажите, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются.
б) Найдите отношение $AN:NS.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $3:1$.
Решение
План. Здесь важны отношения на рёбрах, а не длины или углы. Возьмём вершину $S$ за начало и обозначим векторы $SA,SB,SC$ через $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$. Они линейно независимы, поскольку пирамида не плоская. Поэтому при равенстве векторов можно отдельно сравнивать коэффициенты при каждом из трёх направлений.
Координаты середин:
$$M=\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2},\qquad K=\frac{\mathbf c}{2}.$$
Например, точка на $SA$ имеет только коэффициент при $\mathbf a$, а точка на $BC$ имеет вид $(1-t)\mathbf b+t\mathbf c$, где сумма двух коэффициентов равна 1.
Из $BL=3LC$ следует, что $L$ проходит три четверти пути от $B$ к $C$:
$$L=\frac14\mathbf b+\frac34\mathbf c.$$
Точка $R$ лежит на продолжении $BS$ за $S$, поэтому запишем $R=-r\mathbf b$, где $r>0$. Поскольку $R,K,L$ лежат на одной прямой, для некоторого числа $u$ имеем
$$L=R+u(K-R)=r(u-1)\mathbf b+\frac u2\mathbf c.$$
Сравниваем коэффициенты при $\mathbf c$:
$$\frac u2=\frac34,\qquad u=\frac32.$$
Затем при $\mathbf b$:
$$r\left(\frac32-1\right)=\frac14,\qquad \frac r2=\frac14,\qquad r=\frac12.$$
Значит,
$$R=-\frac12\mathbf b.$$
Найдём пересечение $RM$ с $SA$. Точка прямой $RM$ имеет вид
$$R+v(M-R)=-\frac12\mathbf b+v\left(\frac12\mathbf a+\mathbf b\right)=\frac v2\mathbf a+\left(v-\frac12\right)\mathbf b.$$
Чтобы точка лежала на $SA$, коэффициент при $\mathbf b$ должен быть нулевым:
$$v-\frac12=0,\qquad v=\frac12.$$
Тогда
$$N=\frac{1/2}{2}\mathbf a=\frac14\mathbf a.$$
Это точка самого ребра, поскольку $0<1/4<1$.
а) Проверяем пересечение именно отрезков. Рассмотрим точку, находящуюся на трёх четвертях пути от $M$ к $K$:
$$T=\frac14M+\frac34K=\frac18\mathbf a+\frac18\mathbf b+\frac38\mathbf c.$$
С другой стороны, середина $NL$ имеет вектор
$$\frac{N+L}{2}=\frac12\left(\frac14\mathbf a+\frac14\mathbf b+\frac34\mathbf c\right)=\frac18\mathbf a+\frac18\mathbf b+\frac38\mathbf c.$$
Получили ту же точку $T$. Она внутри $MK$, поскольку её доля $3/4$ между 0 и 1; она также середина $NL$. Следовательно, отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются.
б) Отношение на $SA$. Из $N=\mathbf a/4$ следует
$$SN=\frac14SA,\qquad AN=SA-SN=\frac34SA.$$
Поэтому
$$AN:NS=\frac34:\frac14=3:1.$$
Ответ: б) $3:1$.