ФИПИ 1D76E2 — Сечение многогранников

План. Запишем секущую плоскость по трём заданным точкам. Это позволит проверить направление $SD$ и найти все вершины сечения. Для площади сначала посчитаем площадь его горизонтальной проекции и учтём наклон плоскости. Возьмём координаты $$A(0;0;0),\ B(6;0;0),\ C(6;6;0),\ D(0;6;0),\ S(3;3;h).$$ Центр основания $O(3;3;0)$, поэтому $$OA^2=3^2+3^2=18,$$ $$h^2=SA^2-OA^2=6^2-18=36-18=18,\qquad h=3\sqrt2.$$ Точка $M$ — середина $SA$: $$M\left(\frac32;\frac32;\frac h2\right).$$ Отношение $SN:NB=1:2$ даёт долю $SN/SB=1/3$, то есть $$N=S+\frac13(B-S)=\left(3+1;3-1;h-\frac h3\right)=\left(4;2;\frac{2h}{3}\right).$$ Выводим уравнение плоскости. Пусть оно имеет вид $ux+vy+wz=k$. Подставим $C,M,N$: $$6u+6v=k,$$ $$\frac32u+\frac32v+\frac h2w=k,$$ $$4u+2v+\frac{2h}{3}w=k.$$ Из первого равенства $u+v=k/6$. Подставляем во второе: $$\frac32\cdot\frac k6+\frac h2w=k,\qquad \frac k4+\frac h2w=k,$$ $$\frac h2w=\frac{3k}{4},\qquad hw=\frac{3k}{2}.$$ В третьем равенстве тогда $(2h/3)w=k$, поэтому $4u+2v=0$, то есть $v=-2u$. Первое равенство даёт $-6u=k$. Можно выбрать $k=6h$; тогда $$u=-h,\qquad v=2h,\qquad w=9.$$ Итак, секущая плоскость: $$-hx+2hy+9z=6h.$$ а) Параллельность $SD$. Нормаль плоскости — $\mathbf n=(-h;2h;9)$, а направление $SD$: $$\overrightarrow{SD}=(-3;3;-h).$$ Скалярное произведение: $$\mathbf n\cdot\overrightarrow{SD}=(-h)(-3)+2h\cdot3+9(-h)=3h+6h-9h=0.$$ Направление параллельно плоскости. Сама точка $D$ ей не принадлежит: подстановка даёт $12h$ вместо $6h$. Следовательно, прямая $SD$ параллельна плоскости $CMN$. б) Полное сечение. В основании $z=0$, поэтому уравнение следа $$-x+2y=6.$$ На $AD$ имеем $x=0$, откуда $2y=6$, $y=3$. Получаем $P(0;3;0)$. След проходит также через $C(6;6;0)$. Для проверки остальных рёбер рассмотрим выражение $F=-hx+2hy+9z-6h$ в вершинах: $$F(A)=-6h,\quad F(B)=-12h,\quad F(C)=0,\quad F(D)=6h,\quad F(S)=6h.$$ На ребре плоскость может пройти внутри лишь при противоположных знаках на концах. Поэтому помимо $PC$ в основании она пересекает $SA$ и $SB$ в $M,N$, а $SD$ не пересекает. Получаем четырёхугольник $PMNC$. Его проекция на основание имеет вершины $$P(0;3),\quad M_0\left(\frac32;\frac32\right),\quad N_0(4;2),\quad C(6;6).$$ Площадь плоского многоугольника можно получить сложением ориентированных площадей треугольников с вершиной в начале координат: каждый даёт половину определителя двух соседних радиус-векторов. Это приводит к половине разности двух циклических сумм. Здесь первая сумма: $$0\cdot\frac32+\frac32\cdot2+4\cdot6+6\cdot3=0+3+24+18=45.$$ Вторая сумма: $$3\cdot\frac32+\frac32\cdot4+2\cdot6+6\cdot0=\frac92+6+12=\frac{45}{2}.$$ Поэтому $$S_{\text{пр}}=\frac12\left|45-\frac{45}{2}\right|=\frac12\cdot\frac{45}{2}=\frac{45}{4}.$$ Учитываем наклон. Нормаль основания — $(0;0;1)$. Косинус угла между секущей плоскостью и основанием: $$\cos\varphi=\frac9{\sqrt{(-h)^2+(2h)^2+9^2}}=\frac9{\sqrt{5h^2+81}}.$$ Подставляем $h^2=18$: $$\cos\varphi=\frac9{\sqrt{5\cdot18+81}}=\frac9{\sqrt{90+81}}=\frac9{\sqrt{171}}=\frac9{3\sqrt{19}}=\frac3{\sqrt{19}}.$$ При ортогональной проекции площадь плоской фигуры умножается на косинус угла наклона её плоскости: направление вдоль линии пересечения не укорачивается, а перпендикулярное ему укорачивается в $\cos\varphi$ раз. Поэтому $$S_{\text{пр}}=S\cos\varphi,\qquad S=\frac{S_{\text{пр}}}{\cos\varphi}.$$ Вычисляем: $$S=\frac{45}{4}\cdot\frac{\sqrt{19}}3=\frac{15\sqrt{19}}4.$$ Ответ: б) $\frac{15\sqrt{19}}4$.