Показательные функции — задание №12 ЕГЭ по математике

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Функция является произведением двух выражений. Обозначим их u и v, чтобы применить правило производной произведения: $$u=8 x^{2} - 40 x + 40,\qquad v=e^{x + 4}$$ $$(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$$ Производная первого множителя: $$u^{\prime}=16 x - 40$$ Во втором множителе сначала дифференцируем показатель, затем умножаем на саму экспоненту: $$(x + 4)^{\prime}=1$$ $$v^{\prime}=1\cdot e^{x + 4}$$ Подставляем обе производные в правило произведения: $$y^{\prime}=(16 x - 40)\cdot e^{x + 4}+(8 x^{2} - 40 x + 40)\cdot(1)\cdot e^{x + 4}$$ Оба слагаемых содержат один и тот же положительный множитель. Выносим его за скобки и раскрываем оставшиеся скобки: $$y^{\prime}=e^{x + 4}\left[(16 x - 40)+(1)(8 x^{2} - 40 x + 40)\right]$$ $$y^{\prime}=e^{x + 4}\left(8 x^{2} - 24 x\right)$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$\left(16 x - 40\right) e^{x + 4} + \left(8 x^{2} - 40 x + 40\right) e^{x + 4}=0$$ Экспонента всегда положительна и никогда не равна нулю. Делим обе части на неё; остаётся уравнение: $$8 x^{2} - 24 x=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=8,\qquad B=-24,\qquad C=0$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-24)^2=576$$ $$4AC=4\cdot(8)\cdot(0)=0$$ $$D=B^2-4AC=576-(0)=576$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{576}=24$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-24)+24}{2\cdot(8)}=\frac{48}{16}=3$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-24)-24}{2\cdot(8)}=\frac{0}{16}=0$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;0)$ возьмём $x=-1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-1)=\left(16 \left(-1\right) - 40\right) e^{\left(-1\right) + 4} + \left(8 \left(-1\right)^{2} - 40 \left(-1\right) + 40\right) e^{\left(-1\right) + 4}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$16 \left(-1\right)=-16$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-40 - 16=-56$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-1 + 4=3$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-40\right) \left(-1\right)=40$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-1\right)^{2}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$8 \cdot 1=8$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$8 + 40 + 40=88$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- 56 e^{3} + 88 e^{3}=32 e^{3}$$ $$y^{\prime}(-1)=32 e^{3}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(0;3)$ возьмём $x=\frac{3}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{3}{2})=\left(16 \left(\frac{3}{2}\right) - 40\right) e^{\left(\frac{3}{2}\right) + 4} + \left(8 \left(\frac{3}{2}\right)^{2} - 40 \left(\frac{3}{2}\right) + 40\right) e^{\left(\frac{3}{2}\right) + 4}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$16 \cdot \frac{3}{2}=24$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-40 + 24=-16$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$\frac{3}{2} + 4=\frac{11}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-40\right) \frac{3}{2}=-60$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$8 \cdot \frac{9}{4}=18$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-60 + 18 + 40=-2$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- 16 e^{\frac{11}{2}} - 2 e^{\frac{11}{2}}=- 18 e^{\frac{11}{2}}$$ $$y^{\prime}(\frac{3}{2})=- 18 e^{\frac{11}{2}}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(3;\infty)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(4)=\left(16 \left(4\right) - 40\right) e^{\left(4\right) + 4} + \left(8 \left(4\right)^{2} - 40 \left(4\right) + 40\right) e^{\left(4\right) + 4}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$16 \cdot 4=64$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-40 + 64=24$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$4 + 4=8$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-40\right) 4=-160$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$4^{2}=16$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$8 \cdot 16=128$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-160 + 40 + 128=8$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$8 e^{8} + 24 e^{8}=32 e^{8}$$ $$y^{\prime}(4)=32 e^{8}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=3$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=3$$ Ответ: $3$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Функция является произведением двух выражений. Обозначим их u и v, чтобы применить правило производной произведения: $$u=x + 8,\qquad v=e^{12 - x}$$ $$(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$$ Производная первого множителя: $$u^{\prime}=1$$ Во втором множителе сначала дифференцируем показатель, затем умножаем на саму экспоненту: $$(12 - x)^{\prime}=-1$$ $$v^{\prime}=-1\cdot e^{12 - x}$$ Подставляем обе производные в правило произведения: $$y^{\prime}=(1)\cdot e^{12 - x}+(x + 8)\cdot(-1)\cdot e^{12 - x}$$ Оба слагаемых содержат один и тот же положительный множитель. Выносим его за скобки и раскрываем оставшиеся скобки: $$y^{\prime}=e^{12 - x}\left[(1)+(-1)(x + 8)\right]$$ $$y^{\prime}=e^{12 - x}\left(- x - 7\right)$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$- \left(x + 8\right) e^{12 - x} + e^{12 - x}=0$$ Экспонента всегда положительна и никогда не равна нулю. Делим обе части на неё; остаётся уравнение: $$- x - 7=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- x=7$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{7}{-1}=-7$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-7)$ возьмём $x=-8$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-8)=- \left(\left(-8\right) + 8\right) e^{12 - \left(-8\right)} + e^{12 - \left(-8\right)}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-8 + 8=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) \left(-8\right)=8$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$8 + 12=20$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 0 e^{20}=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + e^{20}=e^{20}$$ $$y^{\prime}(-8)=e^{20}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-7;\infty)$ возьмём $x=-6$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-6)=- \left(\left(-6\right) + 8\right) e^{12 - \left(-6\right)} + e^{12 - \left(-6\right)}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-6 + 8=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) \left(-6\right)=6$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$6 + 12=18$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 2 e^{18}=- 2 e^{18}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- 2 e^{18} + e^{18}=- e^{18}$$ $$y^{\prime}(-6)=- e^{18}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-7$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-7$$ Ответ: $-7$.