ФИПИ 3A3ce8 — Показательные функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Функция является произведением двух выражений. Обозначим их u и v, чтобы применить правило производной произведения: $$u=x + 8,\qquad v=e^{12 - x}$$ $$(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$$ Производная первого множителя: $$u^{\prime}=1$$ Во втором множителе сначала дифференцируем показатель, затем умножаем на саму экспоненту: $$(12 - x)^{\prime}=-1$$ $$v^{\prime}=-1\cdot e^{12 - x}$$ Подставляем обе производные в правило произведения: $$y^{\prime}=(1)\cdot e^{12 - x}+(x + 8)\cdot(-1)\cdot e^{12 - x}$$ Оба слагаемых содержат один и тот же положительный множитель. Выносим его за скобки и раскрываем оставшиеся скобки: $$y^{\prime}=e^{12 - x}\left[(1)+(-1)(x + 8)\right]$$ $$y^{\prime}=e^{12 - x}\left(- x - 7\right)$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$- \left(x + 8\right) e^{12 - x} + e^{12 - x}=0$$ Экспонента всегда положительна и никогда не равна нулю. Делим обе части на неё; остаётся уравнение: $$- x - 7=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- x=7$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{7}{-1}=-7$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-7)$ возьмём $x=-8$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-8)=- \left(\left(-8\right) + 8\right) e^{12 - \left(-8\right)} + e^{12 - \left(-8\right)}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-8 + 8=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) \left(-8\right)=8$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$8 + 12=20$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 0 e^{20}=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + e^{20}=e^{20}$$ $$y^{\prime}(-8)=e^{20}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-7;\infty)$ возьмём $x=-6$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-6)=- \left(\left(-6\right) + 8\right) e^{12 - \left(-6\right)} + e^{12 - \left(-6\right)}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-6 + 8=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) \left(-6\right)=6$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$6 + 12=18$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 2 e^{18}=- 2 e^{18}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- 2 e^{18} + e^{18}=- e^{18}$$ $$y^{\prime}(-6)=- e^{18}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-7$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-7$$ Ответ: $-7$.