Найдите точку минимума функции $y=(8{x}^{2} -40x+40){e}^{x + 4}.$
Ответ: $3$.
Решение
Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти.
Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше.
Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание.
Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл.
Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x.
Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль.
Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку.
Функция является произведением двух выражений. Обозначим их u и v, чтобы применить правило производной произведения:
$$u=8 x^{2} - 40 x + 40,\qquad v=e^{x + 4}$$
$$(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$$
Производная первого множителя:
$$u^{\prime}=16 x - 40$$
Во втором множителе сначала дифференцируем показатель, затем умножаем на саму экспоненту:
$$(x + 4)^{\prime}=1$$
$$v^{\prime}=1\cdot e^{x + 4}$$
Подставляем обе производные в правило произведения:
$$y^{\prime}=(16 x - 40)\cdot e^{x + 4}+(8 x^{2} - 40 x + 40)\cdot(1)\cdot e^{x + 4}$$
Оба слагаемых содержат один и тот же положительный множитель. Выносим его за скобки и раскрываем оставшиеся скобки:
$$y^{\prime}=e^{x + 4}\left[(16 x - 40)+(1)(8 x^{2} - 40 x + 40)\right]$$
$$y^{\prime}=e^{x + 4}\left(8 x^{2} - 24 x\right)$$
Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак.
Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение:
$$\left(16 x - 40\right) e^{x + 4} + \left(8 x^{2} - 40 x + 40\right) e^{x + 4}=0$$
Экспонента всегда положительна и никогда не равна нулю. Делим обе части на неё; остаётся уравнение:
$$8 x^{2} - 24 x=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь:
$$A=8,\qquad B=-24,\qquad C=0$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(-24)^2=576$$
$$4AC=4\cdot(8)\cdot(0)=0$$
$$D=B^2-4AC=576-(0)=576$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{576}=24$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-24)+24}{2\cdot(8)}=\frac{48}{16}=3$$
$$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-24)-24}{2\cdot(8)}=\frac{0}{16}=0$$
Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции.
Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа.
Для промежутка $(-\infty;0)$ возьмём $x=-1$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(-1)=\left(16 \left(-1\right) - 40\right) e^{\left(-1\right) + 4} + \left(8 \left(-1\right)^{2} - 40 \left(-1\right) + 40\right) e^{\left(-1\right) + 4}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$16 \left(-1\right)=-16$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-40 - 16=-56$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-1 + 4=3$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(-40\right) \left(-1\right)=40$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(-1\right)^{2}=1$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$8 \cdot 1=8$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$8 + 40 + 40=88$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$- 56 e^{3} + 88 e^{3}=32 e^{3}$$
$$y^{\prime}(-1)=32 e^{3}>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Для промежутка $(0;3)$ возьмём $x=\frac{3}{2}$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(\frac{3}{2})=\left(16 \left(\frac{3}{2}\right) - 40\right) e^{\left(\frac{3}{2}\right) + 4} + \left(8 \left(\frac{3}{2}\right)^{2} - 40 \left(\frac{3}{2}\right) + 40\right) e^{\left(\frac{3}{2}\right) + 4}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$16 \cdot \frac{3}{2}=24$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-40 + 24=-16$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$\frac{3}{2} + 4=\frac{11}{2}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(-40\right) \frac{3}{2}=-60$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$8 \cdot \frac{9}{4}=18$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-60 + 18 + 40=-2$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$- 16 e^{\frac{11}{2}} - 2 e^{\frac{11}{2}}=- 18 e^{\frac{11}{2}}$$
$$y^{\prime}(\frac{3}{2})=- 18 e^{\frac{11}{2}}<0$$
Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается.
Для промежутка $(3;\infty)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(4)=\left(16 \left(4\right) - 40\right) e^{\left(4\right) + 4} + \left(8 \left(4\right)^{2} - 40 \left(4\right) + 40\right) e^{\left(4\right) + 4}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$16 \cdot 4=64$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-40 + 64=24$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$4 + 4=8$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(-40\right) 4=-160$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$4^{2}=16$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$8 \cdot 16=128$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-160 + 40 + 128=8$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$8 e^{8} + 24 e^{8}=32 e^{8}$$
$$y^{\prime}(4)=32 e^{8}>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Шаг 6. Отвечаем на вопрос.
При прохождении через $x=3$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума.
В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем:
$$x=3$$
Ответ: $3$.