Задание №12 ЕГЭ по математике: Исследование функций с помощью производной

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $12$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(12)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(16 x^{2})^{\prime}=(16)\cdot(2)\cdot x^{1}=32 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(64 x)^{\prime}=(64)\cdot(1)\cdot x^{0}=64$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} + 32 x + 64$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} + 32 x + 64=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=32,\qquad C=64$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(32)^2=1024$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(64)=768$$ $$D=B^2-4AC=1024-(768)=256$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{256}=16$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(32)+16}{2\cdot(3)}=\frac{-16}{6}=- \frac{8}{3}$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(32)-16}{2\cdot(3)}=\frac{-48}{6}=-8$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-8)$ возьмём $x=-9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-9)=3 \left(-9\right)^{2} + 32 \left(-9\right) + 64$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-9\right)^{2}=81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 81=243$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$32 \left(-9\right)=-288$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-288 + 64 + 243=19$$ $$y^{\prime}(-9)=19>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-8;- \frac{8}{3})$ возьмём $x=- \frac{16}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{16}{3})=3 \left(- \frac{16}{3}\right)^{2} + 32 \left(- \frac{16}{3}\right) + 64$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(- \frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{256}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{256}{9}=\frac{256}{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$32 \left(- \frac{16}{3}\right)=- \frac{512}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{512}{3} + 64 + \frac{256}{3}=- \frac{64}{3}$$ $$y^{\prime}(- \frac{16}{3})=- \frac{64}{3}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(- \frac{8}{3};\infty)$ возьмём $x=- \frac{5}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{5}{3})=3 \left(- \frac{5}{3}\right)^{2} + 32 \left(- \frac{5}{3}\right) + 64$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(- \frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{25}{9}=\frac{25}{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$32 \left(- \frac{5}{3}\right)=- \frac{160}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{160}{3} + \frac{25}{3} + 64=19$$ $$y^{\prime}(- \frac{5}{3})=19>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-8$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-8$$ Ответ: $-8$.

Нужно найти точку минимума функции $$y=9x-\ln((x-2)^9)-8.$$ В этой формулировке «точка минимума» — это значение $x$, при переходе через которое функция сначала убывает, затем возрастает. Найдём его по знаку производной. Значение $y$ в окончательный ответ здесь подставлять не требуется. Шаг 1. Проверим область определения и упростим логарифм. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $$(x-2)^9>0.$$ Степень 9 нечётная: отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, положительное — положительным, ноль даёт ноль. Поэтому условие равносильно $x-2>0$. Прибавляем 2 к обеим частям: $$x>2.$$ На этой области $x-2>0$, поэтому можно применить свойство $\ln(u^n)=n\ln u$: $$\ln((x-2)^9)=9\ln(x-2).$$ Исходная функция принимает вид $$y=9x-9\ln(x-2)-8.$$ Шаг 2. Найдём производную. Производная $9x$ равна 9. Для логарифма используем $(\ln u)'=u'/u$: здесь $u=x-2$, $u'=1$, поэтому $$(\ln(x-2))'=\frac1{x-2}.$$ Множитель $-9$ сохраняем, а производная постоянного числа $-8$ равна 0: $$y'=9-\frac9{x-2}.$$ Приводим к общему знаменателю $x-2$: $$9=\frac{9(x-2)}{x-2},$$ $$y'=\frac{9(x-2)-9}{x-2}.$$ Раскрываем скобки: $9(x-2)=9x-18$. Тогда $$y'=\frac{9x-18-9}{x-2}=\frac{9x-27}{x-2}.$$ Шаг 3. Найдём, где производная равна нулю. В области $x>2$ знаменатель ненулевой, поэтому дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю: $$9x-27=0.$$ Прибавляем 27 к обеим частям, затем делим на 9: $$9x=27,\qquad x=\frac{27}9=3.$$ Число 3 удовлетворяет ограничению $x>2$. Шаг 4. Проверим изменение знака производной. Знаменатель $x-2$ положителен на всей области определения. Значит, знак производной определяется числителем. При $2<x<3$ имеем $9x<27$, следовательно, $9x-27<0$ и $y'<0$: функция убывает. При $x>3$ имеем $9x>27$, следовательно, $9x-27>0$ и $y'>0$: функция возрастает. Итак, слева от 3 значения уменьшаются, справа от 3 увеличиваются. Поэтому $x=3$ — точка минимума. Проверка нуля производной: $$y'(3)=9-\frac9{3-2}=9-\frac91=9-9=0.$$ Ответ: $3$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $19$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(19)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 147 x)^{\prime}=(-147)\cdot(1)\cdot x^{0}=-147$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 147$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 147=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=0,\qquad C=-147$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(-147)=-1764$$ $$D=B^2-4AC=0-(-1764)=1764$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1764}=42$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+42}{2\cdot(3)}=\frac{42}{6}=7$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-42}{2\cdot(3)}=\frac{-42}{6}=-7$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-7)$ возьмём $x=-8$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-8)=3 \left(-8\right)^{2} - 147$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-8\right)^{2}=64$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 64=192$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-147 + 192=45$$ $$y^{\prime}(-8)=45>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-7;7)$ возьмём $x=0$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(0)=3 \left(0\right)^{2} - 147$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$0^{2}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-147 + 0=-147$$ $$y^{\prime}(0)=-147<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(7;\infty)$ возьмём $x=8$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(8)=3 \left(8\right)^{2} - 147$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$8^{2}=64$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 64=192$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-147 + 192=45$$ $$y^{\prime}(8)=45>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-7$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-7$$ Ответ: $-7$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $16$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(16)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 21 x)^{\prime}=(-21)\cdot(1)\cdot x^{0}=-21$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(2 x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(2)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=3 \sqrt{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 \sqrt{x} - 21$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 \sqrt{x} - 21=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$3\sqrt x=21$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{21}{3}=7$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(7)^2=49$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;49)$ возьмём $x=\frac{49}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{49}{2})=3 \sqrt{\left(\frac{49}{2}\right)} - 21$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{\frac{49}{2}}=\frac{7 \sqrt{2}}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \frac{7 \sqrt{2}}{2}=\frac{21 \sqrt{2}}{2}$$ $$y^{\prime}(\frac{49}{2})=-21 + \frac{21 \sqrt{2}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(49;\infty)$ возьмём $x=50$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(50)=3 \sqrt{\left(50\right)} - 21$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 5 \sqrt{2}=15 \sqrt{2}$$ $$y^{\prime}(50)=-21 + 15 \sqrt{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=49$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=49$$ Ответ: $49$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $21$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(21)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 15 x)^{\prime}=(-15)\cdot(1)\cdot x^{0}=-15$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(2 x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(2)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=3 \sqrt{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 \sqrt{x} - 15$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 \sqrt{x} - 15=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$3\sqrt x=15$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{15}{3}=5$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(5)^2=25$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;25)$ возьмём $x=\frac{25}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{25}{2})=3 \sqrt{\left(\frac{25}{2}\right)} - 15$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \frac{5 \sqrt{2}}{2}=\frac{15 \sqrt{2}}{2}$$ $$y^{\prime}(\frac{25}{2})=-15 + \frac{15 \sqrt{2}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(25;\infty)$ возьмём $x=26$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(26)=3 \sqrt{\left(26\right)} - 15$$ $$y^{\prime}(26)=-15 + 3 \sqrt{26}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=25$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=25$$ Ответ: $25$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x - 2>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>2$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $11$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(11)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 10 x)^{\prime}=(-10)\cdot(1)\cdot x^{0}=-10$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x - 2,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(10 \ln{\left(x - 2 \right)})^{\prime}=(10)\cdot\frac{1}{x - 2}=\frac{10}{x - 2}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-10 + \frac{10}{x - 2}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-10 + \frac{10}{x - 2}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(20 - 10 x) + (10)}{x - 2}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{30 - 10 x}{x - 2}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$30 - 10 x=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 10 x=-30$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{-30}{-10}=3$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(2;3)$ возьмём $x=\frac{5}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{5}{2})=-10 + \frac{10}{\left(\frac{5}{2}\right) - 2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-2 + \frac{5}{2}=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$10 \cdot 2=20$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-10 + 20=10$$ $$y^{\prime}(\frac{5}{2})=10>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(3;\infty)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(4)=-10 + \frac{10}{\left(4\right) - 2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-2 + 4=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$10 \cdot \frac{1}{2}=5$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-10 + 5=-5$$ $$y^{\prime}(4)=-5<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=3$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=3$$ Ответ: $3$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $74$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(74)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{2})^{\prime}=(1)\cdot(2)\cdot x^{1}=2 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 33 x)^{\prime}=(-33)\cdot(1)\cdot x^{0}=-33$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(136 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(136)\cdot\frac{1}{x}=\frac{136}{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=2 x - 33 + \frac{136}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$2 x - 33 + \frac{136}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 33 x) + (2 x^{2}) + (136)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{2 x^{2} - 33 x + 136}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$2 x^{2} - 33 x + 136=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=2,\qquad B=-33,\qquad C=136$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-33)^2=1089$$ $$4AC=4\cdot(2)\cdot(136)=1088$$ $$D=B^2-4AC=1089-(1088)=1$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1}=1$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-33)+1}{2\cdot(2)}=\frac{34}{4}=\frac{17}{2}$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-33)-1}{2\cdot(2)}=\frac{32}{4}=8$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;8)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(4)=2 \left(4\right) - 33 + \frac{136}{\left(4\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 4=8$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$136 \cdot \frac{1}{4}=34$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-33 + 8 + 34=9$$ $$y^{\prime}(4)=9>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(8;\frac{17}{2})$ возьмём $x=\frac{33}{4}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{33}{4})=2 \left(\frac{33}{4}\right) - 33 + \frac{136}{\left(\frac{33}{4}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot \frac{33}{4}=\frac{33}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{33}{4}}=\frac{4}{33}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$136 \cdot \frac{4}{33}=\frac{544}{33}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-33 + \frac{544}{33} + \frac{33}{2}=- \frac{1}{66}$$ $$y^{\prime}(\frac{33}{4})=- \frac{1}{66}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(\frac{17}{2};\infty)$ возьмём $x=\frac{19}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{19}{2})=2 \left(\frac{19}{2}\right) - 33 + \frac{136}{\left(\frac{19}{2}\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot \frac{19}{2}=19$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{19}{2}}=\frac{2}{19}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$136 \cdot \frac{2}{19}=\frac{272}{19}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-33 + \frac{272}{19} + 19=\frac{6}{19}$$ $$y^{\prime}(\frac{19}{2})=\frac{6}{19}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=8$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=8$$ Ответ: $8$.

Нужно найти наименьшее значение функции $$y=x\sqrt x-9x+25$$ на отрезке $[1;50]$. Ищем значение $y$, то есть результат подстановки в формулу. Сначала определим, при каком $x$ оно наименьшее, затем вычислим результат. Шаг 1. Объясним метод и ограничения. Квадратный корень определён при $x\ge0$. Весь заданный отрезок находится в этой области, а функция на нём непрерывна. Наименьшее значение может быть внутри отрезка или на его границе. Найдём участки убывания и возрастания с помощью производной и проверим, какое место даёт наименьшее значение с учётом обоих концов. Шаг 2. Найдём производную. Произведение $x\sqrt x$ можно записать как степень. Так как $x=x^1$, $\sqrt x=x^{1/2}$, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$x\sqrt x=x^{1+1/2}=x^{3/2}.$$ Для производной степени используем $(x^n)'=nx^{n-1}$. Здесь показатель $n=3/2$, поэтому $$(x^{3/2})'=\frac32x^{3/2-1}=\frac32x^{1/2}=\frac32\sqrt x.$$ Производная $-9x$ равна $-9$, производная постоянного числа 25 равна 0. Получаем $$y'=\frac32\sqrt x-9.$$ Шаг 3. Найдём нуль производной. Решаем уравнение $$\frac32\sqrt x-9=0.$$ Прибавляем 9 к обеим частям: $$\frac32\sqrt x=9.$$ Чтобы убрать коэффициент $3/2$, умножаем обе части на обратную дробь $2/3$: $$\sqrt x=9\cdot\frac23=\frac{18}3=6.$$ Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат сохраняет равенство: $$x=6^2=6\cdot6=36.$$ Число 36 находится внутри отрезка: $1<36<50$. Шаг 4. Докажем, что найденное место даёт минимум на всём отрезке. При $1\le x<36$ квадратный корень меньше 6: $\sqrt x<\sqrt{36}=6$. Умножаем на положительное $3/2$: $$\frac32\sqrt x<\frac32\cdot6=\frac{18}2=9.$$ Вычитаем 9: $y'=(3/2)\sqrt x-9<0$. Значит, до 36 функция убывает. При $36<x\le50$ имеем $\sqrt x>6$. Аналогично $(3/2)\sqrt x>9$, поэтому $y'>0$. После 36 функция возрастает. Таким образом, от левого конца 1 к 36 значения уменьшаются, а от 36 к правому концу 50 — увеличиваются. Значение при 36 меньше значений на обоих концах и во всех остальных точках отрезка. Границы отрезка учтены этим сравнением. Шаг 5. Вычислим значение функции. Подставляем $x=36$ в исходную формулу: $$y(36)=36\sqrt{36}-9\cdot36+25.$$ Корень $\sqrt{36}=6$, потому что $6^2=36$. Поэтому $$36\sqrt{36}=36\cdot6=216,$$ $$9\cdot36=324.$$ Остаётся сложить числа со знаками: $$y(36)=216-324+25.$$ Сначала $216-324=-108$, затем $-108+25=-83$. Следовательно, $$y(36)=-83.$$ Проверка выбранного $x$: $y'(36)=(3/2)\cdot6-9=9-9=0$, а по обе стороны знак изменился с минуса на плюс. Ответ: $-83$. Это наименьшее значение функции; оно достигается при $x=36$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Функция является произведением двух выражений. Обозначим их u и v, чтобы применить правило производной произведения: $$u=8 x^{2} - 40 x + 40,\qquad v=e^{x + 4}$$ $$(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$$ Производная первого множителя: $$u^{\prime}=16 x - 40$$ Во втором множителе сначала дифференцируем показатель, затем умножаем на саму экспоненту: $$(x + 4)^{\prime}=1$$ $$v^{\prime}=1\cdot e^{x + 4}$$ Подставляем обе производные в правило произведения: $$y^{\prime}=(16 x - 40)\cdot e^{x + 4}+(8 x^{2} - 40 x + 40)\cdot(1)\cdot e^{x + 4}$$ Оба слагаемых содержат один и тот же положительный множитель. Выносим его за скобки и раскрываем оставшиеся скобки: $$y^{\prime}=e^{x + 4}\left[(16 x - 40)+(1)(8 x^{2} - 40 x + 40)\right]$$ $$y^{\prime}=e^{x + 4}\left(8 x^{2} - 24 x\right)$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$\left(16 x - 40\right) e^{x + 4} + \left(8 x^{2} - 40 x + 40\right) e^{x + 4}=0$$ Экспонента всегда положительна и никогда не равна нулю. Делим обе части на неё; остаётся уравнение: $$8 x^{2} - 24 x=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=8,\qquad B=-24,\qquad C=0$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-24)^2=576$$ $$4AC=4\cdot(8)\cdot(0)=0$$ $$D=B^2-4AC=576-(0)=576$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{576}=24$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-24)+24}{2\cdot(8)}=\frac{48}{16}=3$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-24)-24}{2\cdot(8)}=\frac{0}{16}=0$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;0)$ возьмём $x=-1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-1)=\left(16 \left(-1\right) - 40\right) e^{\left(-1\right) + 4} + \left(8 \left(-1\right)^{2} - 40 \left(-1\right) + 40\right) e^{\left(-1\right) + 4}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$16 \left(-1\right)=-16$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-40 - 16=-56$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-1 + 4=3$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-40\right) \left(-1\right)=40$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-1\right)^{2}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$8 \cdot 1=8$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$8 + 40 + 40=88$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- 56 e^{3} + 88 e^{3}=32 e^{3}$$ $$y^{\prime}(-1)=32 e^{3}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(0;3)$ возьмём $x=\frac{3}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{3}{2})=\left(16 \left(\frac{3}{2}\right) - 40\right) e^{\left(\frac{3}{2}\right) + 4} + \left(8 \left(\frac{3}{2}\right)^{2} - 40 \left(\frac{3}{2}\right) + 40\right) e^{\left(\frac{3}{2}\right) + 4}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$16 \cdot \frac{3}{2}=24$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-40 + 24=-16$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$\frac{3}{2} + 4=\frac{11}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-40\right) \frac{3}{2}=-60$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$8 \cdot \frac{9}{4}=18$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-60 + 18 + 40=-2$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- 16 e^{\frac{11}{2}} - 2 e^{\frac{11}{2}}=- 18 e^{\frac{11}{2}}$$ $$y^{\prime}(\frac{3}{2})=- 18 e^{\frac{11}{2}}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(3;\infty)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(4)=\left(16 \left(4\right) - 40\right) e^{\left(4\right) + 4} + \left(8 \left(4\right)^{2} - 40 \left(4\right) + 40\right) e^{\left(4\right) + 4}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$16 \cdot 4=64$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-40 + 64=24$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$4 + 4=8$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-40\right) 4=-160$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$4^{2}=16$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$8 \cdot 16=128$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-160 + 40 + 128=8$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$8 e^{8} + 24 e^{8}=32 e^{8}$$ $$y^{\prime}(4)=32 e^{8}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=3$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=3$$ Ответ: $3$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $23$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(23)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(30 x^{2})^{\prime}=(30)\cdot(2)\cdot x^{1}=60 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(225 x)^{\prime}=(225)\cdot(1)\cdot x^{0}=225$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} + 60 x + 225$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} + 60 x + 225=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=60,\qquad C=225$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(60)^2=3600$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(225)=2700$$ $$D=B^2-4AC=3600-(2700)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(60)+30}{2\cdot(3)}=\frac{-30}{6}=-5$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(60)-30}{2\cdot(3)}=\frac{-90}{6}=-15$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-15)$ возьмём $x=-16$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-16)=3 \left(-16\right)^{2} + 60 \left(-16\right) + 225$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-16\right)^{2}=256$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 256=768$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$60 \left(-16\right)=-960$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-960 + 225 + 768=33$$ $$y^{\prime}(-16)=33>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-15;-5)$ возьмём $x=-10$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-10)=3 \left(-10\right)^{2} + 60 \left(-10\right) + 225$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-10\right)^{2}=100$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 100=300$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$60 \left(-10\right)=-600$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-600 + 225 + 300=-75$$ $$y^{\prime}(-10)=-75<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(-5;\infty)$ возьмём $x=-4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-4)=3 \left(-4\right)^{2} + 60 \left(-4\right) + 225$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-4\right)^{2}=16$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 16=48$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$60 \left(-4\right)=-240$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-240 + 48 + 225=33$$ $$y^{\prime}(-4)=33>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-15$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-15$$ Ответ: $-15$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое маленькое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$- \frac{3 \pi}{2}\le x\le 0$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $5$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(5)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 14 x)^{\prime}=(-14)\cdot(1)\cdot x^{0}=-14$$ Используем табличные производные $(\sin x)^{\prime}=\cos x$, $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$: $$(10 \cos{\left(x \right)})^{\prime}=- 10 \sin{\left(x \right)}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=- 10 \sin{\left(x \right)} - 14$$ Шаг 4. Определяем знак производной на всём отрезке. Синус и косинус всегда лежат между −1 и 1. Поэтому тригонометрическое слагаемое производной не может выйти за границы: $$-10\le - 10 \sin{\left(x \right)}\le 10$$ Прибавляем постоянное слагаемое производной к каждой части: $$-24\le y^{\prime}\le -4$$ Значит, производная отрицательна на всём отрезке. Функция убывает. Шаг 5. Выбираем конец отрезка и вычисляем значение функции. У убывающей функции самое маленькое значение на данном отрезке достигается в правом конце: $$x=0$$ Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. $$y(0)=- 14 \left(0\right) + 10 \cos{\left(\left(0\right) \right)} + 5$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-14\right) 0=0$$ Используем значение тригонометрической функции для указанного угла. $$\cos{\left(0 \right)}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$10 \cdot 1=10$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 5 + 10=15$$ Вычисленное значение: $$y(0)=15$$ Ответ: $15$. Это значение функции y, а не подставленное число x.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $17$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(17)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(1)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=\frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 3 x)^{\prime}=(-3)\cdot(1)\cdot x^{0}=-3$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 3$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 3=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$\frac{3}{2}\sqrt x=3$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{3}{\frac{3}{2}}=2$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(2)^2=4$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;4)$ возьмём $x=2$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(2)=\frac{3 \sqrt{\left(2\right)}}{2} - 3$$ $$y^{\prime}(2)=-3 + \frac{3 \sqrt{2}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(4;\infty)$ возьмём $x=5$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(5)=\frac{3 \sqrt{\left(5\right)}}{2} - 3$$ $$y^{\prime}(5)=-3 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=4$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=4$$ Ответ: $4$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x + 3>0$$ Переносим постоянное слагаемое в правую часть с противоположным знаком: $$x>-3$$ В условии логарифм записан от нечётной степени выражения. Нечётная степень положительна тогда и только тогда, когда положительно само выражение. На этой области применяем свойство $\ln(u^n)=n\ln u$. Получаем удобную запись той же функции: $$y=- 7 x + 7 \ln{\left(x + 3 \right)} - 9$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-9$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-9)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 7 x)^{\prime}=(-7)\cdot(1)\cdot x^{0}=-7$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x + 3,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(7 \ln{\left(x + 3 \right)})^{\prime}=(7)\cdot\frac{1}{x + 3}=\frac{7}{x + 3}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=-7 + \frac{7}{x + 3}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$-7 + \frac{7}{x + 3}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 7 x - 21) + (7)}{x + 3}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{- 7 x - 14}{x + 3}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$- 7 x - 14=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- 7 x=14$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{14}{-7}=-2$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-3;-2)$ возьмём $x=- \frac{5}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=-7 + \frac{7}{\left(- \frac{5}{2}\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{5}{2} + 3=\frac{1}{2}$$ Показатель −1 означает обратное число: делим 1 на основание. $$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$7 \cdot 2=14$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + 14=7$$ $$y^{\prime}(- \frac{5}{2})=7>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-2;\infty)$ возьмём $x=-1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-1)=-7 + \frac{7}{\left(-1\right) + 3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-1 + 3=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$7 \cdot \frac{1}{2}=\frac{7}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-7 + \frac{7}{2}=- \frac{7}{2}$$ $$y^{\prime}(-1)=- \frac{7}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-2$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-2$$ Ответ: $-2$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $11$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(11)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(27 x^{2})^{\prime}=(27)\cdot(2)\cdot x^{1}=54 x$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} + 54 x$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} + 54 x=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=54,\qquad C=0$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(54)^2=2916$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(0)=0$$ $$D=B^2-4AC=2916-(0)=2916$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{2916}=54$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(54)+54}{2\cdot(3)}=\frac{0}{6}=0$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(54)-54}{2\cdot(3)}=\frac{-108}{6}=-18$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-18)$ возьмём $x=-19$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-19)=3 \left(-19\right)^{2} + 54 \left(-19\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-19\right)^{2}=361$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 361=1083$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$54 \left(-19\right)=-1026$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-1026 + 1083=57$$ $$y^{\prime}(-19)=57>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-18;0)$ возьмём $x=-9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-9)=3 \left(-9\right)^{2} + 54 \left(-9\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-9\right)^{2}=81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 81=243$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$54 \left(-9\right)=-486$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-486 + 243=-243$$ $$y^{\prime}(-9)=-243<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(0;\infty)$ возьмём $x=1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(1)=3 \left(1\right)^{2} + 54 \left(1\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$1^{2}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 1=3$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$54 \cdot 1=54$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$3 + 54=57$$ $$y^{\prime}(1)=57>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-18$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-18$$ Ответ: $-18$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $17$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(17)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 2 x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(-2)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=- 3 \sqrt{x}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(27 x)^{\prime}=(27)\cdot(1)\cdot x^{0}=27$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=27 - 3 \sqrt{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$27 - 3 \sqrt{x}=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$-3\sqrt x=-27$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{-27}{-3}=9$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(9)^2=81$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;81)$ возьмём $x=\frac{81}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{81}{2})=27 - 3 \sqrt{\left(\frac{81}{2}\right)}$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{\frac{81}{2}}=\frac{9 \sqrt{2}}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- 3 \frac{9 \sqrt{2}}{2}=- \frac{27 \sqrt{2}}{2}$$ $$y^{\prime}(\frac{81}{2})=27 - \frac{27 \sqrt{2}}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(81;\infty)$ возьмём $x=82$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(82)=27 - 3 \sqrt{\left(82\right)}$$ $$y^{\prime}(82)=27 - 3 \sqrt{82}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=81$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=81$$ Ответ: $81$.

Нужно найти самое большое значение функции $$y=\ln(8x)-8x+7$$ при $1/16\le x\le5/16$. Здесь $x$ — число, которое мы подставляем, а $y$ — полученный результат. Например, если мы найдём подходящее $x=1/8$, работу надо продолжить: вычислить $y$ при этом $x$. В ответе спрашивается именно результат $y$. Шаг 1. Объясним способ поиска. Наибольшее значение на отрезке может находиться внутри него или на одном из концов. Мы выясним, где функция растёт и где убывает. Если она сначала растёт, а потом убывает, самое большое значение будет в месте перехода между этими участками. Концы отрезка также будут учтены: нужно проверить, что до них значение больше не становится. Направление изменения определяем по производной: при $y'>0$ функция возрастает, при $y'<0$ — убывает. Шаг 2. Проверим область определения и найдём производную. Аргумент логарифма должен быть положительным: $$8x>0.$$ Делим обе части на положительное число 8, знак сохраняется: $$x>0.$$ Все числа заданного отрезка положительны. Поэтому формула определена и непрерывна на всём отрезке. Для логарифма применяем правило $(\ln u)'=u'/u$. Здесь $u=8x$, поэтому $u'=8$: $$(\ln(8x))'=\frac8{8x}=\frac1x.$$ Производная $-8x$ равна $-8$, производная постоянного числа 7 равна 0. Складываем: $$y'=\frac1x-8.$$ Приведём к общему знаменателю $x$: число 8 запишем как $8x/x$: $$y'=\frac1x-\frac{8x}x=\frac{1-8x}{x}.$$ Шаг 3. Найдём точку, где производная равна нулю. При $x>0$ знаменатель ненулевой. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: $$1-8x=0.$$ Вычитаем 1 из обеих частей: $$-8x=-1.$$ Делим обе части на $-8$: $$x=\frac{-1}{-8}=\frac18.$$ Точка находится внутри заданного отрезка. Чтобы сравнить дроби, приведём их к знаменателю 16: $$\frac18=\frac2{16},\qquad\frac1{16}<\frac2{16}<\frac5{16}.$$ Шаг 4. Докажем, что здесь достигается наибольшее значение. Знаменатель производной $x$ положителен на всём отрезке. Поэтому её знак совпадает со знаком числителя $1-8x$. Слева от $1/8$ имеем $x<1/8$. Умножаем на 8: $8x<1$. Вычитаем $8x$ из обеих частей: $1-8x>0$. Значит, $y'>0$, и на участке от $1/16$ до $1/8$ функция растёт. Справа от $1/8$ имеем $x>1/8$. Тогда $8x>1$, а $1-8x<0$. Значит, $y'<0$, и на участке от $1/8$ до $5/16$ функция убывает. Итак, от левого конца к $1/8$ значения увеличиваются, а от $1/8$ к правому концу уменьшаются. Поэтому ни на левом, ни на правом конце значение не больше, чем при $x=1/8$. Это доказывает выбор для всего отрезка, включая его границы. Шаг 5. Подставим найденное $x$ в исходную функцию. $$y\left(\frac18\right)=\ln\left(8\cdot\frac18\right)-8\cdot\frac18+7.$$ Выполняем умножение: $$8\cdot\frac18=\frac88=1.$$ Поэтому $$y\left(\frac18\right)=\ln1-1+7.$$ Натуральный логарифм 1 равен 0: $e^0=1$, следовательно, $\ln1=0$. Осталось сложить числа: $$0-1+7=-1+7=6.$$ Ответ: $6$. Это наибольшее значение $y$; оно достигается при $x=1/8$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $4$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(4)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(-1)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=- \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(9 x)^{\prime}=(9)\cdot(1)\cdot x^{0}=9$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=9 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$9 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$- \frac{3}{2}\sqrt x=-9$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{-9}{- \frac{3}{2}}=6$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(6)^2=36$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;36)$ возьмём $x=18$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(18)=9 - \frac{3 \sqrt{\left(18\right)}}{2}$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- \frac{3 \cdot 3 \sqrt{2}}{2}=- \frac{9 \sqrt{2}}{2}$$ $$y^{\prime}(18)=9 - \frac{9 \sqrt{2}}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(36;\infty)$ возьмём $x=37$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(37)=9 - \frac{3 \sqrt{\left(37\right)}}{2}$$ $$y^{\prime}(37)=9 - \frac{3 \sqrt{37}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=36$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=36$$ Ответ: $36$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $16$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(16)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(10 x^{2})^{\prime}=(10)\cdot(2)\cdot x^{1}=20 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(25 x)^{\prime}=(25)\cdot(1)\cdot x^{0}=25$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} + 20 x + 25$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} + 20 x + 25=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=20,\qquad C=25$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(20)^2=400$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(25)=300$$ $$D=B^2-4AC=400-(300)=100$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{100}=10$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(20)+10}{2\cdot(3)}=\frac{-10}{6}=- \frac{5}{3}$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(20)-10}{2\cdot(3)}=\frac{-30}{6}=-5$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-5)$ возьмём $x=-6$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-6)=3 \left(-6\right)^{2} + 20 \left(-6\right) + 25$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-6\right)^{2}=36$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 36=108$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$20 \left(-6\right)=-120$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-120 + 25 + 108=13$$ $$y^{\prime}(-6)=13>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-5;- \frac{5}{3})$ возьмём $x=- \frac{10}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{10}{3})=3 \left(- \frac{10}{3}\right)^{2} + 20 \left(- \frac{10}{3}\right) + 25$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(- \frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{100}{9}=\frac{100}{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$20 \left(- \frac{10}{3}\right)=- \frac{200}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{200}{3} + 25 + \frac{100}{3}=- \frac{25}{3}$$ $$y^{\prime}(- \frac{10}{3})=- \frac{25}{3}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(- \frac{5}{3};\infty)$ возьмём $x=- \frac{2}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{2}{3})=3 \left(- \frac{2}{3}\right)^{2} + 20 \left(- \frac{2}{3}\right) + 25$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(- \frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{4}{9}=\frac{4}{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$20 \left(- \frac{2}{3}\right)=- \frac{40}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{40}{3} + \frac{4}{3} + 25=13$$ $$y^{\prime}(- \frac{2}{3})=13>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-5$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-5$$ Ответ: $-5$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Функция является произведением двух выражений. Обозначим их u и v, чтобы применить правило производной произведения: $$u=x + 8,\qquad v=e^{12 - x}$$ $$(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$$ Производная первого множителя: $$u^{\prime}=1$$ Во втором множителе сначала дифференцируем показатель, затем умножаем на саму экспоненту: $$(12 - x)^{\prime}=-1$$ $$v^{\prime}=-1\cdot e^{12 - x}$$ Подставляем обе производные в правило произведения: $$y^{\prime}=(1)\cdot e^{12 - x}+(x + 8)\cdot(-1)\cdot e^{12 - x}$$ Оба слагаемых содержат один и тот же положительный множитель. Выносим его за скобки и раскрываем оставшиеся скобки: $$y^{\prime}=e^{12 - x}\left[(1)+(-1)(x + 8)\right]$$ $$y^{\prime}=e^{12 - x}\left(- x - 7\right)$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$- \left(x + 8\right) e^{12 - x} + e^{12 - x}=0$$ Экспонента всегда положительна и никогда не равна нулю. Делим обе части на неё; остаётся уравнение: $$- x - 7=0$$ Получилось линейное уравнение. Сначала убираем свободное слагаемое: прибавляем к обеим частям противоположное ему число. $$- x=7$$ Теперь делим обе части на коэффициент при неизвестном. Он не равен нулю: $$x=\frac{7}{-1}=-7$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-7)$ возьмём $x=-8$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-8)=- \left(\left(-8\right) + 8\right) e^{12 - \left(-8\right)} + e^{12 - \left(-8\right)}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-8 + 8=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) \left(-8\right)=8$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$8 + 12=20$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 0 e^{20}=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + e^{20}=e^{20}$$ $$y^{\prime}(-8)=e^{20}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-7;\infty)$ возьмём $x=-6$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-6)=- \left(\left(-6\right) + 8\right) e^{12 - \left(-6\right)} + e^{12 - \left(-6\right)}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-6 + 8=2$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) \left(-6\right)=6$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$6 + 12=18$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 2 e^{18}=- 2 e^{18}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- 2 e^{18} + e^{18}=- e^{18}$$ $$y^{\prime}(-6)=- e^{18}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-7$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-7$$ Ответ: $-7$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$x>0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $-97$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(-97)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{2})^{\prime}=(1)\cdot(2)\cdot x^{1}=2 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 20 x)^{\prime}=(-20)\cdot(1)\cdot x^{0}=-20$$ Для натурального логарифма действует правило $(\ln u)^{\prime}=u^{\prime}/u$. Сначала найдём производную его аргумента: $$u=x,\qquad u^{\prime}=1$$ $$(48 \ln{\left(x \right)})^{\prime}=(48)\cdot\frac{1}{x}=\frac{48}{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=2 x - 20 + \frac{48}{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$2 x - 20 + \frac{48}{x}=0$$ Приведём слагаемые производной к общему знаменателю. Умножаем каждое слагаемое на недостающий множитель: $$y^{\prime}=\frac{(- 20 x) + (2 x^{2}) + (48)}{x}$$ Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые: $$y^{\prime}=\frac{2 x^{2} - 20 x + 48}{x}$$ Знаменатель на области определения не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю её числитель: $$2 x^{2} - 20 x + 48=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=2,\qquad B=-20,\qquad C=48$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-20)^2=400$$ $$4AC=4\cdot(2)\cdot(48)=384$$ $$D=B^2-4AC=400-(384)=16$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{16}=4$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-20)+4}{2\cdot(2)}=\frac{24}{4}=6$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-20)-4}{2\cdot(2)}=\frac{16}{4}=4$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;4)$ возьмём $x=2$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(2)=2 \left(2\right) - 20 + \frac{48}{\left(2\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 2=4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$48 \cdot \frac{1}{2}=24$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-20 + 4 + 24=8$$ $$y^{\prime}(2)=8>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(4;6)$ возьмём $x=5$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(5)=2 \left(5\right) - 20 + \frac{48}{\left(5\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 5=10$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$48 \cdot \frac{1}{5}=\frac{48}{5}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-20 + \frac{48}{5} + 10=- \frac{2}{5}$$ $$y^{\prime}(5)=- \frac{2}{5}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(6;\infty)$ возьмём $x=7$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(7)=2 \left(7\right) - 20 + \frac{48}{\left(7\right)}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 7=14$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$48 \cdot \frac{1}{7}=\frac{48}{7}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-20 + \frac{48}{7} + 14=\frac{6}{7}$$ $$y^{\prime}(7)=\frac{6}{7}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=6$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=6$$ Ответ: $6$.