Найдите точку максимума функции $y={x}^{3}+10{x}^{2}+25x+16.$
Ответ: $-5$.
Решение
Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти.
Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше.
Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание.
Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл.
Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x.
Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль.
Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку.
Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется.
Число $16$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю.
$$(16)^{\prime}=0$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(10 x^{2})^{\prime}=(10)\cdot(2)\cdot x^{1}=20 x$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(25 x)^{\prime}=(25)\cdot(1)\cdot x^{0}=25$$
Складываем найденные производные:
$$y^{\prime}=3 x^{2} + 20 x + 25$$
Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак.
Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение:
$$3 x^{2} + 20 x + 25=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь:
$$A=3,\qquad B=20,\qquad C=25$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(20)^2=400$$
$$4AC=4\cdot(3)\cdot(25)=300$$
$$D=B^2-4AC=400-(300)=100$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{100}=10$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(20)+10}{2\cdot(3)}=\frac{-10}{6}=- \frac{5}{3}$$
$$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(20)-10}{2\cdot(3)}=\frac{-30}{6}=-5$$
Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции.
Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа.
Для промежутка $(-\infty;-5)$ возьмём $x=-6$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(-6)=3 \left(-6\right)^{2} + 20 \left(-6\right) + 25$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(-6\right)^{2}=36$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 36=108$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$20 \left(-6\right)=-120$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-120 + 25 + 108=13$$
$$y^{\prime}(-6)=13>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Для промежутка $(-5;- \frac{5}{3})$ возьмём $x=- \frac{10}{3}$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(- \frac{10}{3})=3 \left(- \frac{10}{3}\right)^{2} + 20 \left(- \frac{10}{3}\right) + 25$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(- \frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot \frac{100}{9}=\frac{100}{3}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$20 \left(- \frac{10}{3}\right)=- \frac{200}{3}$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$- \frac{200}{3} + 25 + \frac{100}{3}=- \frac{25}{3}$$
$$y^{\prime}(- \frac{10}{3})=- \frac{25}{3}<0$$
Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается.
Для промежутка $(- \frac{5}{3};\infty)$ возьмём $x=- \frac{2}{3}$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(- \frac{2}{3})=3 \left(- \frac{2}{3}\right)^{2} + 20 \left(- \frac{2}{3}\right) + 25$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(- \frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot \frac{4}{9}=\frac{4}{3}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$20 \left(- \frac{2}{3}\right)=- \frac{40}{3}$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$- \frac{40}{3} + \frac{4}{3} + 25=13$$
$$y^{\prime}(- \frac{2}{3})=13>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Шаг 6. Отвечаем на вопрос.
При прохождении через $x=-5$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума.
В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем:
$$x=-5$$
Ответ: $-5$.