ФИПИ 5750FE — Степенные и рациональные функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $3$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(3)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 14 x^{2})^{\prime}=(-14)\cdot(2)\cdot x^{1}=- 28 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(49 x)^{\prime}=(49)\cdot(1)\cdot x^{0}=49$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 28 x + 49$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 28 x + 49=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=-28,\qquad C=49$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-28)^2=784$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(49)=588$$ $$D=B^2-4AC=784-(588)=196$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{196}=14$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-28)+14}{2\cdot(3)}=\frac{42}{6}=7$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-28)-14}{2\cdot(3)}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;\frac{7}{3})$ возьмём $x=\frac{4}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{4}{3})=3 \left(\frac{4}{3}\right)^{2} - 28 \left(\frac{4}{3}\right) + 49$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-28\right) \frac{4}{3}=- \frac{112}{3}$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{16}{9}=\frac{16}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{112}{3} + \frac{16}{3} + 49=17$$ $$y^{\prime}(\frac{4}{3})=17>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(\frac{7}{3};7)$ возьмём $x=\frac{14}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{14}{3})=3 \left(\frac{14}{3}\right)^{2} - 28 \left(\frac{14}{3}\right) + 49$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-28\right) \frac{14}{3}=- \frac{392}{3}$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{14}{3}\right)^{2}=\frac{196}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{196}{9}=\frac{196}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{392}{3} + 49 + \frac{196}{3}=- \frac{49}{3}$$ $$y^{\prime}(\frac{14}{3})=- \frac{49}{3}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(7;\infty)$ возьмём $x=8$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(8)=3 \left(8\right)^{2} - 28 \left(8\right) + 49$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-28\right) 8=-224$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$8^{2}=64$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 64=192$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-224 + 49 + 192=17$$ $$y^{\prime}(8)=17>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=7$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=7$$ Ответ: $7$.