ФИПИ 597474 — Степенные и рациональные функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $17$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(17)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 18 x^{2})^{\prime}=(-18)\cdot(2)\cdot x^{1}=- 36 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(81 x)^{\prime}=(81)\cdot(1)\cdot x^{0}=81$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 36 x + 81$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 36 x + 81=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=-36,\qquad C=81$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-36)^2=1296$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(81)=972$$ $$D=B^2-4AC=1296-(972)=324$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{324}=18$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-36)+18}{2\cdot(3)}=\frac{54}{6}=9$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-36)-18}{2\cdot(3)}=\frac{18}{6}=3$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;3)$ возьмём $x=2$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(2)=3 \left(2\right)^{2} - 36 \left(2\right) + 81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-36\right) 2=-72$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$2^{2}=4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 4=12$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-72 + 12 + 81=21$$ $$y^{\prime}(2)=21>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(3;9)$ возьмём $x=6$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(6)=3 \left(6\right)^{2} - 36 \left(6\right) + 81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-36\right) 6=-216$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$6^{2}=36$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 36=108$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-216 + 81 + 108=-27$$ $$y^{\prime}(6)=-27<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(9;\infty)$ возьмём $x=10$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(10)=3 \left(10\right)^{2} - 36 \left(10\right) + 81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-36\right) 10=-360$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$10^{2}=100$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 100=300$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-360 + 81 + 300=21$$ $$y^{\prime}(10)=21>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=9$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=9$$ Ответ: $9$.