Найдите точку минимума функции $y={x}^{3}-192x+11.$
Ответ: $8$.
Решение
Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти.
Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше.
Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание.
Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл.
Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x.
Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль.
Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку.
Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется.
Число $11$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю.
$$(11)^{\prime}=0$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(- 192 x)^{\prime}=(-192)\cdot(1)\cdot x^{0}=-192$$
Складываем найденные производные:
$$y^{\prime}=3 x^{2} - 192$$
Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак.
Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение:
$$3 x^{2} - 192=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь:
$$A=3,\qquad B=0,\qquad C=-192$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(0)^2=0$$
$$4AC=4\cdot(3)\cdot(-192)=-2304$$
$$D=B^2-4AC=0-(-2304)=2304$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{2304}=48$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+48}{2\cdot(3)}=\frac{48}{6}=8$$
$$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-48}{2\cdot(3)}=\frac{-48}{6}=-8$$
Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции.
Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа.
Для промежутка $(-\infty;-8)$ возьмём $x=-9$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(-9)=3 \left(-9\right)^{2} - 192$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(-9\right)^{2}=81$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 81=243$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-192 + 243=51$$
$$y^{\prime}(-9)=51>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Для промежутка $(-8;8)$ возьмём $x=0$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(0)=3 \left(0\right)^{2} - 192$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$0^{2}=0$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 0=0$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-192 + 0=-192$$
$$y^{\prime}(0)=-192<0$$
Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается.
Для промежутка $(8;\infty)$ возьмём $x=9$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(9)=3 \left(9\right)^{2} - 192$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$9^{2}=81$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 81=243$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-192 + 243=51$$
$$y^{\prime}(9)=51>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Шаг 6. Отвечаем на вопрос.
При прохождении через $x=8$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума.
В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем:
$$x=8$$
Ответ: $8$.