Степенные и рациональные функции — задание №12 ЕГЭ по математике

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $12$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(12)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(16 x^{2})^{\prime}=(16)\cdot(2)\cdot x^{1}=32 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(64 x)^{\prime}=(64)\cdot(1)\cdot x^{0}=64$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} + 32 x + 64$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} + 32 x + 64=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=32,\qquad C=64$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(32)^2=1024$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(64)=768$$ $$D=B^2-4AC=1024-(768)=256$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{256}=16$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(32)+16}{2\cdot(3)}=\frac{-16}{6}=- \frac{8}{3}$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(32)-16}{2\cdot(3)}=\frac{-48}{6}=-8$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-8)$ возьмём $x=-9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-9)=3 \left(-9\right)^{2} + 32 \left(-9\right) + 64$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-9\right)^{2}=81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 81=243$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$32 \left(-9\right)=-288$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-288 + 64 + 243=19$$ $$y^{\prime}(-9)=19>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-8;- \frac{8}{3})$ возьмём $x=- \frac{16}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{16}{3})=3 \left(- \frac{16}{3}\right)^{2} + 32 \left(- \frac{16}{3}\right) + 64$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(- \frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{256}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{256}{9}=\frac{256}{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$32 \left(- \frac{16}{3}\right)=- \frac{512}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{512}{3} + 64 + \frac{256}{3}=- \frac{64}{3}$$ $$y^{\prime}(- \frac{16}{3})=- \frac{64}{3}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(- \frac{8}{3};\infty)$ возьмём $x=- \frac{5}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{5}{3})=3 \left(- \frac{5}{3}\right)^{2} + 32 \left(- \frac{5}{3}\right) + 64$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(- \frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{25}{9}=\frac{25}{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$32 \left(- \frac{5}{3}\right)=- \frac{160}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{160}{3} + \frac{25}{3} + 64=19$$ $$y^{\prime}(- \frac{5}{3})=19>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-8$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-8$$ Ответ: $-8$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $19$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(19)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 147 x)^{\prime}=(-147)\cdot(1)\cdot x^{0}=-147$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 147$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 147=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=0,\qquad C=-147$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(-147)=-1764$$ $$D=B^2-4AC=0-(-1764)=1764$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1764}=42$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+42}{2\cdot(3)}=\frac{42}{6}=7$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-42}{2\cdot(3)}=\frac{-42}{6}=-7$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-7)$ возьмём $x=-8$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-8)=3 \left(-8\right)^{2} - 147$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-8\right)^{2}=64$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 64=192$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-147 + 192=45$$ $$y^{\prime}(-8)=45>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-7;7)$ возьмём $x=0$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(0)=3 \left(0\right)^{2} - 147$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$0^{2}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-147 + 0=-147$$ $$y^{\prime}(0)=-147<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(7;\infty)$ возьмём $x=8$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(8)=3 \left(8\right)^{2} - 147$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$8^{2}=64$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 64=192$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-147 + 192=45$$ $$y^{\prime}(8)=45>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-7$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-7$$ Ответ: $-7$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $23$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(23)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(30 x^{2})^{\prime}=(30)\cdot(2)\cdot x^{1}=60 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(225 x)^{\prime}=(225)\cdot(1)\cdot x^{0}=225$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} + 60 x + 225$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} + 60 x + 225=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=60,\qquad C=225$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(60)^2=3600$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(225)=2700$$ $$D=B^2-4AC=3600-(2700)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(60)+30}{2\cdot(3)}=\frac{-30}{6}=-5$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(60)-30}{2\cdot(3)}=\frac{-90}{6}=-15$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-15)$ возьмём $x=-16$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-16)=3 \left(-16\right)^{2} + 60 \left(-16\right) + 225$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-16\right)^{2}=256$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 256=768$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$60 \left(-16\right)=-960$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-960 + 225 + 768=33$$ $$y^{\prime}(-16)=33>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-15;-5)$ возьмём $x=-10$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-10)=3 \left(-10\right)^{2} + 60 \left(-10\right) + 225$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-10\right)^{2}=100$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 100=300$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$60 \left(-10\right)=-600$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-600 + 225 + 300=-75$$ $$y^{\prime}(-10)=-75<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(-5;\infty)$ возьмём $x=-4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-4)=3 \left(-4\right)^{2} + 60 \left(-4\right) + 225$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-4\right)^{2}=16$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 16=48$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$60 \left(-4\right)=-240$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-240 + 48 + 225=33$$ $$y^{\prime}(-4)=33>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-15$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-15$$ Ответ: $-15$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $11$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(11)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(27 x^{2})^{\prime}=(27)\cdot(2)\cdot x^{1}=54 x$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} + 54 x$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} + 54 x=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=54,\qquad C=0$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(54)^2=2916$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(0)=0$$ $$D=B^2-4AC=2916-(0)=2916$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{2916}=54$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(54)+54}{2\cdot(3)}=\frac{0}{6}=0$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(54)-54}{2\cdot(3)}=\frac{-108}{6}=-18$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-18)$ возьмём $x=-19$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-19)=3 \left(-19\right)^{2} + 54 \left(-19\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-19\right)^{2}=361$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 361=1083$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$54 \left(-19\right)=-1026$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-1026 + 1083=57$$ $$y^{\prime}(-19)=57>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-18;0)$ возьмём $x=-9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-9)=3 \left(-9\right)^{2} + 54 \left(-9\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-9\right)^{2}=81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 81=243$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$54 \left(-9\right)=-486$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-486 + 243=-243$$ $$y^{\prime}(-9)=-243<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(0;\infty)$ возьмём $x=1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(1)=3 \left(1\right)^{2} + 54 \left(1\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$1^{2}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 1=3$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$54 \cdot 1=54$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$3 + 54=57$$ $$y^{\prime}(1)=57>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-18$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-18$$ Ответ: $-18$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $16$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(16)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(10 x^{2})^{\prime}=(10)\cdot(2)\cdot x^{1}=20 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(25 x)^{\prime}=(25)\cdot(1)\cdot x^{0}=25$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} + 20 x + 25$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} + 20 x + 25=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=20,\qquad C=25$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(20)^2=400$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(25)=300$$ $$D=B^2-4AC=400-(300)=100$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{100}=10$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(20)+10}{2\cdot(3)}=\frac{-10}{6}=- \frac{5}{3}$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(20)-10}{2\cdot(3)}=\frac{-30}{6}=-5$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-5)$ возьмём $x=-6$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-6)=3 \left(-6\right)^{2} + 20 \left(-6\right) + 25$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-6\right)^{2}=36$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 36=108$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$20 \left(-6\right)=-120$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-120 + 25 + 108=13$$ $$y^{\prime}(-6)=13>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-5;- \frac{5}{3})$ возьмём $x=- \frac{10}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{10}{3})=3 \left(- \frac{10}{3}\right)^{2} + 20 \left(- \frac{10}{3}\right) + 25$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(- \frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{100}{9}=\frac{100}{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$20 \left(- \frac{10}{3}\right)=- \frac{200}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{200}{3} + 25 + \frac{100}{3}=- \frac{25}{3}$$ $$y^{\prime}(- \frac{10}{3})=- \frac{25}{3}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(- \frac{5}{3};\infty)$ возьмём $x=- \frac{2}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{2}{3})=3 \left(- \frac{2}{3}\right)^{2} + 20 \left(- \frac{2}{3}\right) + 25$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(- \frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{4}{9}=\frac{4}{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$20 \left(- \frac{2}{3}\right)=- \frac{40}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{40}{3} + \frac{4}{3} + 25=13$$ $$y^{\prime}(- \frac{2}{3})=13>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-5$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-5$$ Ответ: $-5$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $3$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(3)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 14 x^{2})^{\prime}=(-14)\cdot(2)\cdot x^{1}=- 28 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(49 x)^{\prime}=(49)\cdot(1)\cdot x^{0}=49$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 28 x + 49$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 28 x + 49=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=-28,\qquad C=49$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-28)^2=784$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(49)=588$$ $$D=B^2-4AC=784-(588)=196$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{196}=14$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-28)+14}{2\cdot(3)}=\frac{42}{6}=7$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-28)-14}{2\cdot(3)}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;\frac{7}{3})$ возьмём $x=\frac{4}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{4}{3})=3 \left(\frac{4}{3}\right)^{2} - 28 \left(\frac{4}{3}\right) + 49$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-28\right) \frac{4}{3}=- \frac{112}{3}$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{16}{9}=\frac{16}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{112}{3} + \frac{16}{3} + 49=17$$ $$y^{\prime}(\frac{4}{3})=17>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(\frac{7}{3};7)$ возьмём $x=\frac{14}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{14}{3})=3 \left(\frac{14}{3}\right)^{2} - 28 \left(\frac{14}{3}\right) + 49$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-28\right) \frac{14}{3}=- \frac{392}{3}$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{14}{3}\right)^{2}=\frac{196}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{196}{9}=\frac{196}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{392}{3} + 49 + \frac{196}{3}=- \frac{49}{3}$$ $$y^{\prime}(\frac{14}{3})=- \frac{49}{3}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(7;\infty)$ возьмём $x=8$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(8)=3 \left(8\right)^{2} - 28 \left(8\right) + 49$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-28\right) 8=-224$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$8^{2}=64$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 64=192$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-224 + 49 + 192=17$$ $$y^{\prime}(8)=17>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=7$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=7$$ Ответ: $7$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $17$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(17)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 18 x^{2})^{\prime}=(-18)\cdot(2)\cdot x^{1}=- 36 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(81 x)^{\prime}=(81)\cdot(1)\cdot x^{0}=81$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 36 x + 81$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 36 x + 81=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=-36,\qquad C=81$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-36)^2=1296$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(81)=972$$ $$D=B^2-4AC=1296-(972)=324$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{324}=18$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-36)+18}{2\cdot(3)}=\frac{54}{6}=9$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-36)-18}{2\cdot(3)}=\frac{18}{6}=3$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;3)$ возьмём $x=2$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(2)=3 \left(2\right)^{2} - 36 \left(2\right) + 81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-36\right) 2=-72$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$2^{2}=4$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 4=12$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-72 + 12 + 81=21$$ $$y^{\prime}(2)=21>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(3;9)$ возьмём $x=6$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(6)=3 \left(6\right)^{2} - 36 \left(6\right) + 81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-36\right) 6=-216$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$6^{2}=36$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 36=108$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-216 + 81 + 108=-27$$ $$y^{\prime}(6)=-27<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(9;\infty)$ возьмём $x=10$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(10)=3 \left(10\right)^{2} - 36 \left(10\right) + 81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-36\right) 10=-360$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$10^{2}=100$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 100=300$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-360 + 81 + 300=21$$ $$y^{\prime}(10)=21>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=9$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=9$$ Ответ: $9$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $17$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(17)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 27 x^{2})^{\prime}=(-27)\cdot(2)\cdot x^{1}=- 54 x$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 54 x$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 54 x=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=-54,\qquad C=0$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-54)^2=2916$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(0)=0$$ $$D=B^2-4AC=2916-(0)=2916$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{2916}=54$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-54)+54}{2\cdot(3)}=\frac{108}{6}=18$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-54)-54}{2\cdot(3)}=\frac{0}{6}=0$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;0)$ возьмём $x=-1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-1)=3 \left(-1\right)^{2} - 54 \left(-1\right)$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-54\right) \left(-1\right)=54$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-1\right)^{2}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 1=3$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$3 + 54=57$$ $$y^{\prime}(-1)=57>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(0;18)$ возьмём $x=9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(9)=3 \left(9\right)^{2} - 54 \left(9\right)$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-54\right) 9=-486$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$9^{2}=81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 81=243$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-486 + 243=-243$$ $$y^{\prime}(9)=-243<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(18;\infty)$ возьмём $x=19$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(19)=3 \left(19\right)^{2} - 54 \left(19\right)$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-54\right) 19=-1026$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$19^{2}=361$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 361=1083$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-1026 + 1083=57$$ $$y^{\prime}(19)=57>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=18$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=18$$ Ответ: $18$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $14$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(14)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 27 x)^{\prime}=(-27)\cdot(1)\cdot x^{0}=-27$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 27$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 27=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=0,\qquad C=-27$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(-27)=-324$$ $$D=B^2-4AC=0-(-324)=324$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{324}=18$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+18}{2\cdot(3)}=\frac{18}{6}=3$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-18}{2\cdot(3)}=\frac{-18}{6}=-3$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-3)$ возьмём $x=-4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-4)=3 \left(-4\right)^{2} - 27$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-4\right)^{2}=16$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 16=48$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-27 + 48=21$$ $$y^{\prime}(-4)=21>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-3;3)$ возьмём $x=0$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(0)=3 \left(0\right)^{2} - 27$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$0^{2}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-27 + 0=-27$$ $$y^{\prime}(0)=-27<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(3;\infty)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(4)=3 \left(4\right)^{2} - 27$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$4^{2}=16$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 16=48$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-27 + 48=21$$ $$y^{\prime}(4)=21>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-3$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-3$$ Ответ: $-3$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $8$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(8)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(14 x^{2})^{\prime}=(14)\cdot(2)\cdot x^{1}=28 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(49 x)^{\prime}=(49)\cdot(1)\cdot x^{0}=49$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} + 28 x + 49$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} + 28 x + 49=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=28,\qquad C=49$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(28)^2=784$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(49)=588$$ $$D=B^2-4AC=784-(588)=196$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{196}=14$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(28)+14}{2\cdot(3)}=\frac{-14}{6}=- \frac{7}{3}$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(28)-14}{2\cdot(3)}=\frac{-42}{6}=-7$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-7)$ возьмём $x=-8$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-8)=3 \left(-8\right)^{2} + 28 \left(-8\right) + 49$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-8\right)^{2}=64$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 64=192$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$28 \left(-8\right)=-224$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-224 + 49 + 192=17$$ $$y^{\prime}(-8)=17>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-7;- \frac{7}{3})$ возьмём $x=- \frac{14}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{14}{3})=3 \left(- \frac{14}{3}\right)^{2} + 28 \left(- \frac{14}{3}\right) + 49$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(- \frac{14}{3}\right)^{2}=\frac{196}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{196}{9}=\frac{196}{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$28 \left(- \frac{14}{3}\right)=- \frac{392}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{392}{3} + 49 + \frac{196}{3}=- \frac{49}{3}$$ $$y^{\prime}(- \frac{14}{3})=- \frac{49}{3}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(- \frac{7}{3};\infty)$ возьмём $x=- \frac{4}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(- \frac{4}{3})=3 \left(- \frac{4}{3}\right)^{2} + 28 \left(- \frac{4}{3}\right) + 49$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(- \frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{16}{9}=\frac{16}{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$28 \left(- \frac{4}{3}\right)=- \frac{112}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{112}{3} + \frac{16}{3} + 49=17$$ $$y^{\prime}(- \frac{4}{3})=17>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-7$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-7$$ Ответ: $-7$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $23$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(23)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 108 x)^{\prime}=(-108)\cdot(1)\cdot x^{0}=-108$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 108$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 108=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=0,\qquad C=-108$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(-108)=-1296$$ $$D=B^2-4AC=0-(-1296)=1296$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1296}=36$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+36}{2\cdot(3)}=\frac{36}{6}=6$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-36}{2\cdot(3)}=\frac{-36}{6}=-6$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-6)$ возьмём $x=-7$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-7)=3 \left(-7\right)^{2} - 108$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-7\right)^{2}=49$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 49=147$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-108 + 147=39$$ $$y^{\prime}(-7)=39>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-6;6)$ возьмём $x=0$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(0)=3 \left(0\right)^{2} - 108$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$0^{2}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-108 + 0=-108$$ $$y^{\prime}(0)=-108<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(6;\infty)$ возьмём $x=7$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(7)=3 \left(7\right)^{2} - 108$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$7^{2}=49$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 49=147$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-108 + 147=39$$ $$y^{\prime}(7)=39>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-6$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-6$$ Ответ: $-6$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $11$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(11)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 192 x)^{\prime}=(-192)\cdot(1)\cdot x^{0}=-192$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 192$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 192=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=0,\qquad C=-192$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(-192)=-2304$$ $$D=B^2-4AC=0-(-2304)=2304$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{2304}=48$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+48}{2\cdot(3)}=\frac{48}{6}=8$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-48}{2\cdot(3)}=\frac{-48}{6}=-8$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-8)$ возьмём $x=-9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-9)=3 \left(-9\right)^{2} - 192$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-9\right)^{2}=81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 81=243$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-192 + 243=51$$ $$y^{\prime}(-9)=51>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-8;8)$ возьмём $x=0$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(0)=3 \left(0\right)^{2} - 192$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$0^{2}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-192 + 0=-192$$ $$y^{\prime}(0)=-192<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(8;\infty)$ возьмём $x=9$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(9)=3 \left(9\right)^{2} - 192$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$9^{2}=81$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 81=243$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-192 + 243=51$$ $$y^{\prime}(9)=51>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=8$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=8$$ Ответ: $8$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $17$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(17)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 12 x^{2})^{\prime}=(-12)\cdot(2)\cdot x^{1}=- 24 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(36 x)^{\prime}=(36)\cdot(1)\cdot x^{0}=36$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 24 x + 36$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 24 x + 36=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=-24,\qquad C=36$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-24)^2=576$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(36)=432$$ $$D=B^2-4AC=576-(432)=144$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{144}=12$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-24)+12}{2\cdot(3)}=\frac{36}{6}=6$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-24)-12}{2\cdot(3)}=\frac{12}{6}=2$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;2)$ возьмём $x=1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(1)=3 \left(1\right)^{2} - 24 \left(1\right) + 36$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-24\right) 1=-24$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$1^{2}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 1=3$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-24 + 3 + 36=15$$ $$y^{\prime}(1)=15>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(2;6)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(4)=3 \left(4\right)^{2} - 24 \left(4\right) + 36$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-24\right) 4=-96$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$4^{2}=16$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 16=48$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-96 + 36 + 48=-12$$ $$y^{\prime}(4)=-12<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(6;\infty)$ возьмём $x=7$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(7)=3 \left(7\right)^{2} - 24 \left(7\right) + 36$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-24\right) 7=-168$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$7^{2}=49$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 49=147$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-168 + 36 + 147=15$$ $$y^{\prime}(7)=15>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=6$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=6$$ Ответ: $6$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $23$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(23)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 20 x^{2})^{\prime}=(-20)\cdot(2)\cdot x^{1}=- 40 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(100 x)^{\prime}=(100)\cdot(1)\cdot x^{0}=100$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 40 x + 100$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 40 x + 100=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=-40,\qquad C=100$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-40)^2=1600$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(100)=1200$$ $$D=B^2-4AC=1600-(1200)=400$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{400}=20$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-40)+20}{2\cdot(3)}=\frac{60}{6}=10$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-40)-20}{2\cdot(3)}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;\frac{10}{3})$ возьмём $x=\frac{7}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{7}{3})=3 \left(\frac{7}{3}\right)^{2} - 40 \left(\frac{7}{3}\right) + 100$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-40\right) \frac{7}{3}=- \frac{280}{3}$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{49}{9}=\frac{49}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{280}{3} + \frac{49}{3} + 100=23$$ $$y^{\prime}(\frac{7}{3})=23>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(\frac{10}{3};10)$ возьмём $x=\frac{20}{3}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{20}{3})=3 \left(\frac{20}{3}\right)^{2} - 40 \left(\frac{20}{3}\right) + 100$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-40\right) \frac{20}{3}=- \frac{800}{3}$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot \frac{400}{9}=\frac{400}{3}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{800}{3} + 100 + \frac{400}{3}=- \frac{100}{3}$$ $$y^{\prime}(\frac{20}{3})=- \frac{100}{3}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(10;\infty)$ возьмём $x=11$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(11)=3 \left(11\right)^{2} - 40 \left(11\right) + 100$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-40\right) 11=-440$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$11^{2}=121$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 121=363$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-440 + 100 + 363=23$$ $$y^{\prime}(11)=23>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=10$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=10$$ Ответ: $10$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $14$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(14)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 300 x)^{\prime}=(-300)\cdot(1)\cdot x^{0}=-300$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 300$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 300=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=0,\qquad C=-300$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(-300)=-3600$$ $$D=B^2-4AC=0-(-3600)=3600$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{3600}=60$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+60}{2\cdot(3)}=\frac{60}{6}=10$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-60}{2\cdot(3)}=\frac{-60}{6}=-10$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-10)$ возьмём $x=-11$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-11)=3 \left(-11\right)^{2} - 300$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-11\right)^{2}=121$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 121=363$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-300 + 363=63$$ $$y^{\prime}(-11)=63>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-10;10)$ возьмём $x=0$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(0)=3 \left(0\right)^{2} - 300$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$0^{2}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-300 + 0=-300$$ $$y^{\prime}(0)=-300<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(10;\infty)$ возьмём $x=11$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(11)=3 \left(11\right)^{2} - 300$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$11^{2}=121$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 121=363$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-300 + 363=63$$ $$y^{\prime}(11)=63>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=10$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=10$$ Ответ: $10$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $5$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(5)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 300 x)^{\prime}=(-300)\cdot(1)\cdot x^{0}=-300$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 300$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 300=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=0,\qquad C=-300$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(-300)=-3600$$ $$D=B^2-4AC=0-(-3600)=3600$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{3600}=60$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+60}{2\cdot(3)}=\frac{60}{6}=10$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-60}{2\cdot(3)}=\frac{-60}{6}=-10$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-10)$ возьмём $x=-11$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-11)=3 \left(-11\right)^{2} - 300$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-11\right)^{2}=121$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 121=363$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-300 + 363=63$$ $$y^{\prime}(-11)=63>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-10;10)$ возьмём $x=0$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(0)=3 \left(0\right)^{2} - 300$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$0^{2}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-300 + 0=-300$$ $$y^{\prime}(0)=-300<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(10;\infty)$ возьмём $x=11$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(11)=3 \left(11\right)^{2} - 300$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$11^{2}=121$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 121=363$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-300 + 363=63$$ $$y^{\prime}(11)=63>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-10$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-10$$ Ответ: $-10$.