Найдите точку максимума функции $y={x}^{3}+27{x}^{2}+11.$
Ответ: $-18$.
Решение
Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти.
Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше.
Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание.
Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл.
Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x.
Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль.
Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку.
Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется.
Число $11$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю.
$$(11)^{\prime}=0$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(27 x^{2})^{\prime}=(27)\cdot(2)\cdot x^{1}=54 x$$
Складываем найденные производные:
$$y^{\prime}=3 x^{2} + 54 x$$
Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак.
Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение:
$$3 x^{2} + 54 x=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь:
$$A=3,\qquad B=54,\qquad C=0$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(54)^2=2916$$
$$4AC=4\cdot(3)\cdot(0)=0$$
$$D=B^2-4AC=2916-(0)=2916$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{2916}=54$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(54)+54}{2\cdot(3)}=\frac{0}{6}=0$$
$$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(54)-54}{2\cdot(3)}=\frac{-108}{6}=-18$$
Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции.
Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа.
Для промежутка $(-\infty;-18)$ возьмём $x=-19$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(-19)=3 \left(-19\right)^{2} + 54 \left(-19\right)$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(-19\right)^{2}=361$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 361=1083$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$54 \left(-19\right)=-1026$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-1026 + 1083=57$$
$$y^{\prime}(-19)=57>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Для промежутка $(-18;0)$ возьмём $x=-9$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(-9)=3 \left(-9\right)^{2} + 54 \left(-9\right)$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(-9\right)^{2}=81$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 81=243$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$54 \left(-9\right)=-486$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-486 + 243=-243$$
$$y^{\prime}(-9)=-243<0$$
Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается.
Для промежутка $(0;\infty)$ возьмём $x=1$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(1)=3 \left(1\right)^{2} + 54 \left(1\right)$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$1^{2}=1$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 1=3$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$54 \cdot 1=54$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$3 + 54=57$$
$$y^{\prime}(1)=57>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Шаг 6. Отвечаем на вопрос.
При прохождении через $x=-18$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума.
В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем:
$$x=-18$$
Ответ: $-18$.