Найдите точку максимума функции $y={x}^{3}+14{x}^{2}+49x+8.$
Ответ: $-7$.
Решение
Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти.
Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше.
Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание.
Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл.
Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x.
Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль.
Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку.
Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется.
Число $8$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю.
$$(8)^{\prime}=0$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(14 x^{2})^{\prime}=(14)\cdot(2)\cdot x^{1}=28 x$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(49 x)^{\prime}=(49)\cdot(1)\cdot x^{0}=49$$
Складываем найденные производные:
$$y^{\prime}=3 x^{2} + 28 x + 49$$
Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак.
Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение:
$$3 x^{2} + 28 x + 49=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь:
$$A=3,\qquad B=28,\qquad C=49$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(28)^2=784$$
$$4AC=4\cdot(3)\cdot(49)=588$$
$$D=B^2-4AC=784-(588)=196$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{196}=14$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(28)+14}{2\cdot(3)}=\frac{-14}{6}=- \frac{7}{3}$$
$$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(28)-14}{2\cdot(3)}=\frac{-42}{6}=-7$$
Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции.
Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа.
Для промежутка $(-\infty;-7)$ возьмём $x=-8$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(-8)=3 \left(-8\right)^{2} + 28 \left(-8\right) + 49$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(-8\right)^{2}=64$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 64=192$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$28 \left(-8\right)=-224$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-224 + 49 + 192=17$$
$$y^{\prime}(-8)=17>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Для промежутка $(-7;- \frac{7}{3})$ возьмём $x=- \frac{14}{3}$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(- \frac{14}{3})=3 \left(- \frac{14}{3}\right)^{2} + 28 \left(- \frac{14}{3}\right) + 49$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(- \frac{14}{3}\right)^{2}=\frac{196}{9}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot \frac{196}{9}=\frac{196}{3}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$28 \left(- \frac{14}{3}\right)=- \frac{392}{3}$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$- \frac{392}{3} + 49 + \frac{196}{3}=- \frac{49}{3}$$
$$y^{\prime}(- \frac{14}{3})=- \frac{49}{3}<0$$
Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается.
Для промежутка $(- \frac{7}{3};\infty)$ возьмём $x=- \frac{4}{3}$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(- \frac{4}{3})=3 \left(- \frac{4}{3}\right)^{2} + 28 \left(- \frac{4}{3}\right) + 49$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(- \frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot \frac{16}{9}=\frac{16}{3}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$28 \left(- \frac{4}{3}\right)=- \frac{112}{3}$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$- \frac{112}{3} + \frac{16}{3} + 49=17$$
$$y^{\prime}(- \frac{4}{3})=17>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Шаг 6. Отвечаем на вопрос.
При прохождении через $x=-7$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума.
В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем:
$$x=-7$$
Ответ: $-7$.