Найдите точку минимума функции $y={x}^{3}-20{x}^{2}+100x+23.$
Ответ: $10$.
Решение
Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти.
Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше.
Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание.
Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл.
Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x.
Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль.
Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку.
Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется.
Число $23$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю.
$$(23)^{\prime}=0$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(- 20 x^{2})^{\prime}=(-20)\cdot(2)\cdot x^{1}=- 40 x$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(100 x)^{\prime}=(100)\cdot(1)\cdot x^{0}=100$$
Складываем найденные производные:
$$y^{\prime}=3 x^{2} - 40 x + 100$$
Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак.
Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение:
$$3 x^{2} - 40 x + 100=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь:
$$A=3,\qquad B=-40,\qquad C=100$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(-40)^2=1600$$
$$4AC=4\cdot(3)\cdot(100)=1200$$
$$D=B^2-4AC=1600-(1200)=400$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{400}=20$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-40)+20}{2\cdot(3)}=\frac{60}{6}=10$$
$$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-40)-20}{2\cdot(3)}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$$
Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции.
Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа.
Для промежутка $(-\infty;\frac{10}{3})$ возьмём $x=\frac{7}{3}$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(\frac{7}{3})=3 \left(\frac{7}{3}\right)^{2} - 40 \left(\frac{7}{3}\right) + 100$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(-40\right) \frac{7}{3}=- \frac{280}{3}$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot \frac{49}{9}=\frac{49}{3}$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$- \frac{280}{3} + \frac{49}{3} + 100=23$$
$$y^{\prime}(\frac{7}{3})=23>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Для промежутка $(\frac{10}{3};10)$ возьмём $x=\frac{20}{3}$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(\frac{20}{3})=3 \left(\frac{20}{3}\right)^{2} - 40 \left(\frac{20}{3}\right) + 100$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(-40\right) \frac{20}{3}=- \frac{800}{3}$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot \frac{400}{9}=\frac{400}{3}$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$- \frac{800}{3} + 100 + \frac{400}{3}=- \frac{100}{3}$$
$$y^{\prime}(\frac{20}{3})=- \frac{100}{3}<0$$
Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается.
Для промежутка $(10;\infty)$ возьмём $x=11$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(11)=3 \left(11\right)^{2} - 40 \left(11\right) + 100$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(-40\right) 11=-440$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$11^{2}=121$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 121=363$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-440 + 100 + 363=23$$
$$y^{\prime}(11)=23>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Шаг 6. Отвечаем на вопрос.
При прохождении через $x=10$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума.
В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем:
$$x=10$$
Ответ: $10$.