Найдите точку максимума функции $y={x}^{3}+16{x}^{2}+64x+12.$
Ответ: $-8$
Решение
Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти.
Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше.
Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание.
Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл.
Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x.
Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль.
Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку.
Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется.
Число $12$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю.
$$(12)^{\prime}=0$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(16 x^{2})^{\prime}=(16)\cdot(2)\cdot x^{1}=32 x$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(64 x)^{\prime}=(64)\cdot(1)\cdot x^{0}=64$$
Складываем найденные производные:
$$y^{\prime}=3 x^{2} + 32 x + 64$$
Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак.
Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение:
$$3 x^{2} + 32 x + 64=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь:
$$A=3,\qquad B=32,\qquad C=64$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(32)^2=1024$$
$$4AC=4\cdot(3)\cdot(64)=768$$
$$D=B^2-4AC=1024-(768)=256$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{256}=16$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(32)+16}{2\cdot(3)}=\frac{-16}{6}=- \frac{8}{3}$$
$$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(32)-16}{2\cdot(3)}=\frac{-48}{6}=-8$$
Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции.
Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа.
Для промежутка $(-\infty;-8)$ возьмём $x=-9$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(-9)=3 \left(-9\right)^{2} + 32 \left(-9\right) + 64$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(-9\right)^{2}=81$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 81=243$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$32 \left(-9\right)=-288$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-288 + 64 + 243=19$$
$$y^{\prime}(-9)=19>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Для промежутка $(-8;- \frac{8}{3})$ возьмём $x=- \frac{16}{3}$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(- \frac{16}{3})=3 \left(- \frac{16}{3}\right)^{2} + 32 \left(- \frac{16}{3}\right) + 64$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(- \frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{256}{9}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot \frac{256}{9}=\frac{256}{3}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$32 \left(- \frac{16}{3}\right)=- \frac{512}{3}$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$- \frac{512}{3} + 64 + \frac{256}{3}=- \frac{64}{3}$$
$$y^{\prime}(- \frac{16}{3})=- \frac{64}{3}<0$$
Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается.
Для промежутка $(- \frac{8}{3};\infty)$ возьмём $x=- \frac{5}{3}$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(- \frac{5}{3})=3 \left(- \frac{5}{3}\right)^{2} + 32 \left(- \frac{5}{3}\right) + 64$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(- \frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot \frac{25}{9}=\frac{25}{3}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$32 \left(- \frac{5}{3}\right)=- \frac{160}{3}$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$- \frac{160}{3} + \frac{25}{3} + 64=19$$
$$y^{\prime}(- \frac{5}{3})=19>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Шаг 6. Отвечаем на вопрос.
При прохождении через $x=-8$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума.
В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем:
$$x=-8$$
Ответ: $-8$.