ФИПИ 24e5F8 — Степенные и рациональные функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $23$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(23)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(30 x^{2})^{\prime}=(30)\cdot(2)\cdot x^{1}=60 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(225 x)^{\prime}=(225)\cdot(1)\cdot x^{0}=225$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} + 60 x + 225$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} + 60 x + 225=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=60,\qquad C=225$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(60)^2=3600$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(225)=2700$$ $$D=B^2-4AC=3600-(2700)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(60)+30}{2\cdot(3)}=\frac{-30}{6}=-5$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(60)-30}{2\cdot(3)}=\frac{-90}{6}=-15$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;-15)$ возьмём $x=-16$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-16)=3 \left(-16\right)^{2} + 60 \left(-16\right) + 225$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-16\right)^{2}=256$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 256=768$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$60 \left(-16\right)=-960$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-960 + 225 + 768=33$$ $$y^{\prime}(-16)=33>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(-15;-5)$ возьмём $x=-10$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-10)=3 \left(-10\right)^{2} + 60 \left(-10\right) + 225$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-10\right)^{2}=100$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 100=300$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$60 \left(-10\right)=-600$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-600 + 225 + 300=-75$$ $$y^{\prime}(-10)=-75<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(-5;\infty)$ возьмём $x=-4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(-4)=3 \left(-4\right)^{2} + 60 \left(-4\right) + 225$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(-4\right)^{2}=16$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 16=48$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$60 \left(-4\right)=-240$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-240 + 48 + 225=33$$ $$y^{\prime}(-4)=33>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=-15$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=-15$$ Ответ: $-15$.