Найдите точку максимума функции $y={x}^{3}-27x+14.$
Ответ: $-3$.
Решение
Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти.
Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше.
Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание.
Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл.
Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x.
Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль.
Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку.
Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется.
Число $14$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю.
$$(14)^{\prime}=0$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(- 27 x)^{\prime}=(-27)\cdot(1)\cdot x^{0}=-27$$
Складываем найденные производные:
$$y^{\prime}=3 x^{2} - 27$$
Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак.
Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение:
$$3 x^{2} - 27=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь:
$$A=3,\qquad B=0,\qquad C=-27$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(0)^2=0$$
$$4AC=4\cdot(3)\cdot(-27)=-324$$
$$D=B^2-4AC=0-(-324)=324$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{324}=18$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+18}{2\cdot(3)}=\frac{18}{6}=3$$
$$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-18}{2\cdot(3)}=\frac{-18}{6}=-3$$
Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции.
Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа.
Для промежутка $(-\infty;-3)$ возьмём $x=-4$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(-4)=3 \left(-4\right)^{2} - 27$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(-4\right)^{2}=16$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 16=48$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-27 + 48=21$$
$$y^{\prime}(-4)=21>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Для промежутка $(-3;3)$ возьмём $x=0$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(0)=3 \left(0\right)^{2} - 27$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$0^{2}=0$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 0=0$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-27 + 0=-27$$
$$y^{\prime}(0)=-27<0$$
Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается.
Для промежутка $(3;\infty)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(4)=3 \left(4\right)^{2} - 27$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$4^{2}=16$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 16=48$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-27 + 48=21$$
$$y^{\prime}(4)=21>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Шаг 6. Отвечаем на вопрос.
При прохождении через $x=-3$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума.
В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем:
$$x=-3$$
Ответ: $-3$.