ФИПИ 714DA4 — Степенные и рациональные функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $17$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(17)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 12 x^{2})^{\prime}=(-12)\cdot(2)\cdot x^{1}=- 24 x$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(36 x)^{\prime}=(36)\cdot(1)\cdot x^{0}=36$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 x^{2} - 24 x + 36$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 x^{2} - 24 x + 36=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=-24,\qquad C=36$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-24)^2=576$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(36)=432$$ $$D=B^2-4AC=576-(432)=144$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{144}=12$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-24)+12}{2\cdot(3)}=\frac{36}{6}=6$$ $$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-24)-12}{2\cdot(3)}=\frac{12}{6}=2$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(-\infty;2)$ возьмём $x=1$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(1)=3 \left(1\right)^{2} - 24 \left(1\right) + 36$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-24\right) 1=-24$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$1^{2}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 1=3$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-24 + 3 + 36=15$$ $$y^{\prime}(1)=15>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(2;6)$ возьмём $x=4$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(4)=3 \left(4\right)^{2} - 24 \left(4\right) + 36$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-24\right) 4=-96$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$4^{2}=16$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 16=48$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-96 + 36 + 48=-12$$ $$y^{\prime}(4)=-12<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(6;\infty)$ возьмём $x=7$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(7)=3 \left(7\right)^{2} - 24 \left(7\right) + 36$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-24\right) 7=-168$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$7^{2}=49$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 49=147$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-168 + 36 + 147=15$$ $$y^{\prime}(7)=15>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=6$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=6$$ Ответ: $6$.