Найдите точку минимума функции $y={x}^{3}-27{x}^{2}+17.$
Ответ: $18$.
Решение
Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти.
Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше.
Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание.
Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл.
Здесь нет ограничивающих знаменателей или логарифмов. Полином, синус, косинус и экспонента определены при всех действительных x.
Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль.
Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку.
Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется.
Число $17$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю.
$$(17)^{\prime}=0$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(x^{3})^{\prime}=(1)\cdot(3)\cdot x^{2}=3 x^{2}$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(- 27 x^{2})^{\prime}=(-27)\cdot(2)\cdot x^{1}=- 54 x$$
Складываем найденные производные:
$$y^{\prime}=3 x^{2} - 54 x$$
Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак.
Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение:
$$3 x^{2} - 54 x=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A x^2+B x+C=0$. Здесь:
$$A=3,\qquad B=-54,\qquad C=0$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(-54)^2=2916$$
$$4AC=4\cdot(3)\cdot(0)=0$$
$$D=B^2-4AC=2916-(0)=2916$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{2916}=54$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$x_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-54)+54}{2\cdot(3)}=\frac{108}{6}=18$$
$$x_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-54)-54}{2\cdot(3)}=\frac{0}{6}=0$$
Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции.
Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа.
Для промежутка $(-\infty;0)$ возьмём $x=-1$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(-1)=3 \left(-1\right)^{2} - 54 \left(-1\right)$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(-54\right) \left(-1\right)=54$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(-1\right)^{2}=1$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 1=3$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$3 + 54=57$$
$$y^{\prime}(-1)=57>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Для промежутка $(0;18)$ возьмём $x=9$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(9)=3 \left(9\right)^{2} - 54 \left(9\right)$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(-54\right) 9=-486$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$9^{2}=81$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 81=243$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-486 + 243=-243$$
$$y^{\prime}(9)=-243<0$$
Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается.
Для промежутка $(18;\infty)$ возьмём $x=19$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(19)=3 \left(19\right)^{2} - 54 \left(19\right)$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(-54\right) 19=-1026$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$19^{2}=361$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 361=1083$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-1026 + 1083=57$$
$$y^{\prime}(19)=57>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Шаг 6. Отвечаем на вопрос.
При прохождении через $x=18$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума.
В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем:
$$x=18$$
Ответ: $18$.