Иррациональные функции — задание №12 ЕГЭ по математике

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $16$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(16)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 21 x)^{\prime}=(-21)\cdot(1)\cdot x^{0}=-21$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(2 x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(2)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=3 \sqrt{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 \sqrt{x} - 21$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 \sqrt{x} - 21=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$3\sqrt x=21$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{21}{3}=7$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(7)^2=49$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;49)$ возьмём $x=\frac{49}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{49}{2})=3 \sqrt{\left(\frac{49}{2}\right)} - 21$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{\frac{49}{2}}=\frac{7 \sqrt{2}}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \frac{7 \sqrt{2}}{2}=\frac{21 \sqrt{2}}{2}$$ $$y^{\prime}(\frac{49}{2})=-21 + \frac{21 \sqrt{2}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(49;\infty)$ возьмём $x=50$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(50)=3 \sqrt{\left(50\right)} - 21$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 5 \sqrt{2}=15 \sqrt{2}$$ $$y^{\prime}(50)=-21 + 15 \sqrt{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=49$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=49$$ Ответ: $49$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $21$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(21)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 15 x)^{\prime}=(-15)\cdot(1)\cdot x^{0}=-15$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(2 x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(2)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=3 \sqrt{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 \sqrt{x} - 15$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 \sqrt{x} - 15=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$3\sqrt x=15$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{15}{3}=5$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(5)^2=25$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;25)$ возьмём $x=\frac{25}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{25}{2})=3 \sqrt{\left(\frac{25}{2}\right)} - 15$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \frac{5 \sqrt{2}}{2}=\frac{15 \sqrt{2}}{2}$$ $$y^{\prime}(\frac{25}{2})=-15 + \frac{15 \sqrt{2}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(25;\infty)$ возьмём $x=26$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(26)=3 \sqrt{\left(26\right)} - 15$$ $$y^{\prime}(26)=-15 + 3 \sqrt{26}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=25$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=25$$ Ответ: $25$.

Нужно найти наименьшее значение функции $$y=x\sqrt x-9x+25$$ на отрезке $[1;50]$. Ищем значение $y$, то есть результат подстановки в формулу. Сначала определим, при каком $x$ оно наименьшее, затем вычислим результат. Шаг 1. Объясним метод и ограничения. Квадратный корень определён при $x\ge0$. Весь заданный отрезок находится в этой области, а функция на нём непрерывна. Наименьшее значение может быть внутри отрезка или на его границе. Найдём участки убывания и возрастания с помощью производной и проверим, какое место даёт наименьшее значение с учётом обоих концов. Шаг 2. Найдём производную. Произведение $x\sqrt x$ можно записать как степень. Так как $x=x^1$, $\sqrt x=x^{1/2}$, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$x\sqrt x=x^{1+1/2}=x^{3/2}.$$ Для производной степени используем $(x^n)'=nx^{n-1}$. Здесь показатель $n=3/2$, поэтому $$(x^{3/2})'=\frac32x^{3/2-1}=\frac32x^{1/2}=\frac32\sqrt x.$$ Производная $-9x$ равна $-9$, производная постоянного числа 25 равна 0. Получаем $$y'=\frac32\sqrt x-9.$$ Шаг 3. Найдём нуль производной. Решаем уравнение $$\frac32\sqrt x-9=0.$$ Прибавляем 9 к обеим частям: $$\frac32\sqrt x=9.$$ Чтобы убрать коэффициент $3/2$, умножаем обе части на обратную дробь $2/3$: $$\sqrt x=9\cdot\frac23=\frac{18}3=6.$$ Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат сохраняет равенство: $$x=6^2=6\cdot6=36.$$ Число 36 находится внутри отрезка: $1<36<50$. Шаг 4. Докажем, что найденное место даёт минимум на всём отрезке. При $1\le x<36$ квадратный корень меньше 6: $\sqrt x<\sqrt{36}=6$. Умножаем на положительное $3/2$: $$\frac32\sqrt x<\frac32\cdot6=\frac{18}2=9.$$ Вычитаем 9: $y'=(3/2)\sqrt x-9<0$. Значит, до 36 функция убывает. При $36<x\le50$ имеем $\sqrt x>6$. Аналогично $(3/2)\sqrt x>9$, поэтому $y'>0$. После 36 функция возрастает. Таким образом, от левого конца 1 к 36 значения уменьшаются, а от 36 к правому концу 50 — увеличиваются. Значение при 36 меньше значений на обоих концах и во всех остальных точках отрезка. Границы отрезка учтены этим сравнением. Шаг 5. Вычислим значение функции. Подставляем $x=36$ в исходную формулу: $$y(36)=36\sqrt{36}-9\cdot36+25.$$ Корень $\sqrt{36}=6$, потому что $6^2=36$. Поэтому $$36\sqrt{36}=36\cdot6=216,$$ $$9\cdot36=324.$$ Остаётся сложить числа со знаками: $$y(36)=216-324+25.$$ Сначала $216-324=-108$, затем $-108+25=-83$. Следовательно, $$y(36)=-83.$$ Проверка выбранного $x$: $y'(36)=(3/2)\cdot6-9=9-9=0$, а по обе стороны знак изменился с минуса на плюс. Ответ: $-83$. Это наименьшее значение функции; оно достигается при $x=36$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $17$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(17)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(1)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=\frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 3 x)^{\prime}=(-3)\cdot(1)\cdot x^{0}=-3$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 3$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 3=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$\frac{3}{2}\sqrt x=3$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{3}{\frac{3}{2}}=2$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(2)^2=4$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;4)$ возьмём $x=2$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(2)=\frac{3 \sqrt{\left(2\right)}}{2} - 3$$ $$y^{\prime}(2)=-3 + \frac{3 \sqrt{2}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(4;\infty)$ возьмём $x=5$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(5)=\frac{3 \sqrt{\left(5\right)}}{2} - 3$$ $$y^{\prime}(5)=-3 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=4$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=4$$ Ответ: $4$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $17$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(17)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 2 x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(-2)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=- 3 \sqrt{x}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(27 x)^{\prime}=(27)\cdot(1)\cdot x^{0}=27$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=27 - 3 \sqrt{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$27 - 3 \sqrt{x}=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$-3\sqrt x=-27$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{-27}{-3}=9$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(9)^2=81$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;81)$ возьмём $x=\frac{81}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{81}{2})=27 - 3 \sqrt{\left(\frac{81}{2}\right)}$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{\frac{81}{2}}=\frac{9 \sqrt{2}}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- 3 \frac{9 \sqrt{2}}{2}=- \frac{27 \sqrt{2}}{2}$$ $$y^{\prime}(\frac{81}{2})=27 - \frac{27 \sqrt{2}}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(81;\infty)$ возьмём $x=82$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(82)=27 - 3 \sqrt{\left(82\right)}$$ $$y^{\prime}(82)=27 - 3 \sqrt{82}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=81$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=81$$ Ответ: $81$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $4$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(4)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(-1)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=- \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(9 x)^{\prime}=(9)\cdot(1)\cdot x^{0}=9$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=9 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$9 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$- \frac{3}{2}\sqrt x=-9$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{-9}{- \frac{3}{2}}=6$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(6)^2=36$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;36)$ возьмём $x=18$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(18)=9 - \frac{3 \sqrt{\left(18\right)}}{2}$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- \frac{3 \cdot 3 \sqrt{2}}{2}=- \frac{9 \sqrt{2}}{2}$$ $$y^{\prime}(18)=9 - \frac{9 \sqrt{2}}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(36;\infty)$ возьмём $x=37$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(37)=9 - \frac{3 \sqrt{\left(37\right)}}{2}$$ $$y^{\prime}(37)=9 - \frac{3 \sqrt{37}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=36$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=36$$ Ответ: $36$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $3$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(3)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(-1)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=- \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(18 x)^{\prime}=(18)\cdot(1)\cdot x^{0}=18$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=18 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$18 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$- \frac{3}{2}\sqrt x=-18$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{-18}{- \frac{3}{2}}=12$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(12)^2=144$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;144)$ возьмём $x=72$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(72)=18 - \frac{3 \sqrt{\left(72\right)}}{2}$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{72}=6 \sqrt{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- \frac{3 \cdot 6 \sqrt{2}}{2}=- 9 \sqrt{2}$$ $$y^{\prime}(72)=18 - 9 \sqrt{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(144;\infty)$ возьмём $x=145$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(145)=18 - \frac{3 \sqrt{\left(145\right)}}{2}$$ $$y^{\prime}(145)=18 - \frac{3 \sqrt{145}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=144$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=144$$ Ответ: $144$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $4$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(4)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(-1)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=- \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(27 x)^{\prime}=(27)\cdot(1)\cdot x^{0}=27$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=27 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$27 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$- \frac{3}{2}\sqrt x=-27$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{-27}{- \frac{3}{2}}=18$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(18)^2=324$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;324)$ возьмём $x=162$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(162)=27 - \frac{3 \sqrt{\left(162\right)}}{2}$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{162}=9 \sqrt{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- \frac{3 \cdot 9 \sqrt{2}}{2}=- \frac{27 \sqrt{2}}{2}$$ $$y^{\prime}(162)=27 - \frac{27 \sqrt{2}}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(324;\infty)$ возьмём $x=325$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(325)=27 - \frac{3 \sqrt{\left(325\right)}}{2}$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{325}=5 \sqrt{13}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- \frac{3 \cdot 5 \sqrt{13}}{2}=- \frac{15 \sqrt{13}}{2}$$ $$y^{\prime}(325)=27 - \frac{15 \sqrt{13}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=324$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=324$$ Ответ: $324$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $21$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(21)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 18 x)^{\prime}=(-18)\cdot(1)\cdot x^{0}=-18$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(2 x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(2)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=3 \sqrt{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 \sqrt{x} - 18$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 \sqrt{x} - 18=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$3\sqrt x=18$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{18}{3}=6$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(6)^2=36$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;36)$ возьмём $x=18$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(18)=3 \sqrt{\left(18\right)} - 18$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 3 \sqrt{2}=9 \sqrt{2}$$ $$y^{\prime}(18)=-18 + 9 \sqrt{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(36;\infty)$ возьмём $x=37$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(37)=3 \sqrt{\left(37\right)} - 18$$ $$y^{\prime}(37)=-18 + 3 \sqrt{37}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=36$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=36$$ Ответ: $36$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое большое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$0\le x\le 12$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $7$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(7)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 4 x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(-4)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=- 6 \sqrt{x}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(12 x)^{\prime}=(12)\cdot(1)\cdot x^{0}=12$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=12 - 6 \sqrt{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$12 - 6 \sqrt{x}=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$-6\sqrt x=-12$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{-12}{-6}=2$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(2)^2=4$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;4)$ возьмём $x=2$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(2)=12 - 6 \sqrt{\left(2\right)}$$ $$y^{\prime}(2)=12 - 6 \sqrt{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(4;\infty)$ возьмём $x=5$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(5)=12 - 6 \sqrt{\left(5\right)}$$ $$y^{\prime}(5)=12 - 6 \sqrt{5}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Учитываем границы отрезка и выбираем нужное x. На отрезке самое большое или самое маленькое значение может находиться и внутри, и на границе. Поэтому рассматриваем оба конца и внутренние точки, где производная равна нулю: $$x\in\{0;12;4\}$$ Подставляем $x=0$ в исходную формулу: $$y(0)=- 4 \left(0\right)^{\frac{3}{2}} + 12 \left(0\right) + 7$$ Показатель $3/2$ означает: извлекаем квадратный корень, затем возводим его в куб. $$\sqrt{0}=0$$ $$(0)^3=(0)\cdot(0)\cdot(0)=0$$ Получили значение степени с дробным показателем. $$0^{\frac{3}{2}}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-4\right) 0=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$12 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 0 + 7=7$$ После выполненных действий остаётся: $$y(0)=7$$ Подставляем $x=12$ в исходную формулу: $$y(12)=- 4 \left(12\right)^{\frac{3}{2}} + 12 \left(12\right) + 7$$ Показатель $3/2$ означает: извлекаем квадратный корень, затем возводим его в куб. $$\sqrt{12}=2 \sqrt{3}$$ $$(2 \sqrt{3})^3=(2 \sqrt{3})\cdot(2 \sqrt{3})\cdot(2 \sqrt{3})=24 \sqrt{3}$$ Получили значение степени с дробным показателем. $$12^{\frac{3}{2}}=24 \sqrt{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- 4 \cdot 24 \sqrt{3}=- 96 \sqrt{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$12 \cdot 12=144$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- 96 \sqrt{3} + 7 + 144=151 - 96 \sqrt{3}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(12)=151 - 96 \sqrt{3}$$ Подставляем $x=4$ в исходную формулу: $$y(4)=- 4 \left(4\right)^{\frac{3}{2}} + 12 \left(4\right) + 7$$ Показатель $3/2$ означает: извлекаем квадратный корень, затем возводим его в куб. $$\sqrt{4}=2$$ $$(2)^3=(2)\cdot(2)\cdot(2)=8$$ Получили значение степени с дробным показателем. $$4^{\frac{3}{2}}=8$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-4\right) 8=-32$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$12 \cdot 4=48$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-32 + 7 + 48=23$$ После выполненных действий остаётся: $$y(4)=23$$ Установленные участки роста и убывания вместе с границами отрезка показывают: искомое значение достигается при $x=4$. Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. Вычисленное значение: $$y(4)=23$$ Ответ: $23$. Это значение функции y, а не подставленное число x.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $15$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(15)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(-1)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=- \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(24 x)^{\prime}=(24)\cdot(1)\cdot x^{0}=24$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=24 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$24 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$- \frac{3}{2}\sqrt x=-24$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{-24}{- \frac{3}{2}}=16$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(16)^2=256$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;256)$ возьмём $x=128$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(128)=24 - \frac{3 \sqrt{\left(128\right)}}{2}$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{128}=8 \sqrt{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- \frac{3 \cdot 8 \sqrt{2}}{2}=- 12 \sqrt{2}$$ $$y^{\prime}(128)=24 - 12 \sqrt{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(256;\infty)$ возьмём $x=257$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(257)=24 - \frac{3 \sqrt{\left(257\right)}}{2}$$ $$y^{\prime}(257)=24 - \frac{3 \sqrt{257}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=256$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=256$$ Ответ: $256$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $9$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(9)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(1)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=\frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 3 x)^{\prime}=(-3)\cdot(1)\cdot x^{0}=-3$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 3$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 3=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$\frac{3}{2}\sqrt x=3$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{3}{\frac{3}{2}}=2$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(2)^2=4$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;4)$ возьмём $x=2$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(2)=\frac{3 \sqrt{\left(2\right)}}{2} - 3$$ $$y^{\prime}(2)=-3 + \frac{3 \sqrt{2}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(4;\infty)$ возьмём $x=5$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(5)=\frac{3 \sqrt{\left(5\right)}}{2} - 3$$ $$y^{\prime}(5)=-3 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=4$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=4$$ Ответ: $4$.

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $2$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(2)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(-1)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=- \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(24 x)^{\prime}=(24)\cdot(1)\cdot x^{0}=24$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=24 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$24 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$- \frac{3}{2}\sqrt x=-24$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{-24}{- \frac{3}{2}}=16$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(16)^2=256$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;256)$ возьмём $x=128$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(128)=24 - \frac{3 \sqrt{\left(128\right)}}{2}$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{128}=8 \sqrt{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- \frac{3 \cdot 8 \sqrt{2}}{2}=- 12 \sqrt{2}$$ $$y^{\prime}(128)=24 - 12 \sqrt{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(256;\infty)$ возьмём $x=257$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(257)=24 - \frac{3 \sqrt{\left(257\right)}}{2}$$ $$y^{\prime}(257)=24 - \frac{3 \sqrt{257}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=256$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=256$$ Ответ: $256$.