ФИПИ 2E9992 — Иррациональные функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше. Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $17$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(17)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 2 x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(-2)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=- 3 \sqrt{x}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(27 x)^{\prime}=(27)\cdot(1)\cdot x^{0}=27$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=27 - 3 \sqrt{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$27 - 3 \sqrt{x}=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$-3\sqrt x=-27$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{-27}{-3}=9$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(9)^2=81$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;81)$ возьмём $x=\frac{81}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{81}{2})=27 - 3 \sqrt{\left(\frac{81}{2}\right)}$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{\frac{81}{2}}=\frac{9 \sqrt{2}}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- 3 \frac{9 \sqrt{2}}{2}=- \frac{27 \sqrt{2}}{2}$$ $$y^{\prime}(\frac{81}{2})=27 - \frac{27 \sqrt{2}}{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(81;\infty)$ возьмём $x=82$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(82)=27 - 3 \sqrt{\left(82\right)}$$ $$y^{\prime}(82)=27 - 3 \sqrt{82}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=81$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=81$$ Ответ: $81$.