ФИПИ 699DB5 — Иррациональные функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $21$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(21)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 18 x)^{\prime}=(-18)\cdot(1)\cdot x^{0}=-18$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(2 x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(2)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=3 \sqrt{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 \sqrt{x} - 18$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 \sqrt{x} - 18=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$3\sqrt x=18$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{18}{3}=6$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(6)^2=36$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;36)$ возьмём $x=18$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(18)=3 \sqrt{\left(18\right)} - 18$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 3 \sqrt{2}=9 \sqrt{2}$$ $$y^{\prime}(18)=-18 + 9 \sqrt{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(36;\infty)$ возьмём $x=37$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(37)=3 \sqrt{\left(37\right)} - 18$$ $$y^{\prime}(37)=-18 + 3 \sqrt{37}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=36$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=36$$ Ответ: $36$.