ФИПИ 8151AA — Иррациональные функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. У функции x — число, которое мы выбираем, а y — результат подстановки этого числа в формулу. Здесь нужно найти самое большое значение y на указанном отрезке. Поэтому сначала определим подходящее x, а затем подставим его в исходную функцию. Само x окончательным ответом в этой задаче не будет. $$0\le x\le 12$$ Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Оба конца заданного отрезка и все числа между ними удовлетворяют найденным ограничениям. На этом отрезке функция непрерывна. Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $7$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(7)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 4 x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(-4)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=- 6 \sqrt{x}$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(12 x)^{\prime}=(12)\cdot(1)\cdot x^{0}=12$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=12 - 6 \sqrt{x}$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$12 - 6 \sqrt{x}=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$-6\sqrt x=-12$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{-12}{-6}=2$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(2)^2=4$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;4)$ возьмём $x=2$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(2)=12 - 6 \sqrt{\left(2\right)}$$ $$y^{\prime}(2)=12 - 6 \sqrt{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Для промежутка $(4;\infty)$ возьмём $x=5$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(5)=12 - 6 \sqrt{\left(5\right)}$$ $$y^{\prime}(5)=12 - 6 \sqrt{5}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Шаг 6. Учитываем границы отрезка и выбираем нужное x. На отрезке самое большое или самое маленькое значение может находиться и внутри, и на границе. Поэтому рассматриваем оба конца и внутренние точки, где производная равна нулю: $$x\in\{0;12;4\}$$ Подставляем $x=0$ в исходную формулу: $$y(0)=- 4 \left(0\right)^{\frac{3}{2}} + 12 \left(0\right) + 7$$ Показатель $3/2$ означает: извлекаем квадратный корень, затем возводим его в куб. $$\sqrt{0}=0$$ $$(0)^3=(0)\cdot(0)\cdot(0)=0$$ Получили значение степени с дробным показателем. $$0^{\frac{3}{2}}=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-4\right) 0=0$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$12 \cdot 0=0$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$0 + 0 + 7=7$$ После выполненных действий остаётся: $$y(0)=7$$ Подставляем $x=12$ в исходную формулу: $$y(12)=- 4 \left(12\right)^{\frac{3}{2}} + 12 \left(12\right) + 7$$ Показатель $3/2$ означает: извлекаем квадратный корень, затем возводим его в куб. $$\sqrt{12}=2 \sqrt{3}$$ $$(2 \sqrt{3})^3=(2 \sqrt{3})\cdot(2 \sqrt{3})\cdot(2 \sqrt{3})=24 \sqrt{3}$$ Получили значение степени с дробным показателем. $$12^{\frac{3}{2}}=24 \sqrt{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$- 4 \cdot 24 \sqrt{3}=- 96 \sqrt{3}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$12 \cdot 12=144$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- 96 \sqrt{3} + 7 + 144=151 - 96 \sqrt{3}$$ После выполненных действий остаётся: $$y(12)=151 - 96 \sqrt{3}$$ Подставляем $x=4$ в исходную формулу: $$y(4)=- 4 \left(4\right)^{\frac{3}{2}} + 12 \left(4\right) + 7$$ Показатель $3/2$ означает: извлекаем квадратный корень, затем возводим его в куб. $$\sqrt{4}=2$$ $$(2)^3=(2)\cdot(2)\cdot(2)=8$$ Получили значение степени с дробным показателем. $$4^{\frac{3}{2}}=8$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-4\right) 8=-32$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$12 \cdot 4=48$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-32 + 7 + 48=23$$ После выполненных действий остаётся: $$y(4)=23$$ Установленные участки роста и убывания вместе с границами отрезка показывают: искомое значение достигается при $x=4$. Итак, для ответа нужно именно y при выбранном x. Вычисленное значение: $$y(4)=23$$ Ответ: $23$. Это значение функции y, а не подставленное число x.