Найдите точку максимума функции $y=2+24x-x\sqrt{x}.$
Ответ: $256$.
Решение
Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти.
Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет возрастание на убывание: сначала y становится больше, затем меньше.
Это x и называется точкой максимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание.
Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл.
Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x:
$$x^{3/2}=x\sqrt x$$
Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении:
$$x\ge0$$
Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль.
Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку.
Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется.
Число $2$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю.
$$(2)^{\prime}=0$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(- x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(-1)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=- \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(24 x)^{\prime}=(24)\cdot(1)\cdot x^{0}=24$$
Складываем найденные производные:
$$y^{\prime}=24 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}$$
Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак.
Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение:
$$24 - \frac{3 \sqrt{x}}{2}=0$$
Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак:
$$- \frac{3}{2}\sqrt x=-24$$
Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем:
$$\sqrt x=\frac{-24}{- \frac{3}{2}}=16$$
Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень:
$$x=(16)^2=256$$
Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции.
Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа.
Для промежутка $(0;256)$ возьмём $x=128$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(128)=24 - \frac{3 \sqrt{\left(128\right)}}{2}$$
Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию.
$$\sqrt{128}=8 \sqrt{2}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$- \frac{3 \cdot 8 \sqrt{2}}{2}=- 12 \sqrt{2}$$
$$y^{\prime}(128)=24 - 12 \sqrt{2}>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Для промежутка $(256;\infty)$ возьмём $x=257$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(257)=24 - \frac{3 \sqrt{\left(257\right)}}{2}$$
$$y^{\prime}(257)=24 - \frac{3 \sqrt{257}}{2}<0$$
Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается.
Шаг 6. Отвечаем на вопрос.
При прохождении через $x=256$ производная меняет плюс на минус. Слева функция растёт, справа убывает, поэтому это нужная точка максимума.
В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем:
$$x=256$$
Ответ: $256$.