ФИПИ 221C18 — Иррациональные функции

Нужно найти наименьшее значение функции $$y=x\sqrt x-9x+25$$ на отрезке $[1;50]$. Ищем значение $y$, то есть результат подстановки в формулу. Сначала определим, при каком $x$ оно наименьшее, затем вычислим результат. Шаг 1. Объясним метод и ограничения. Квадратный корень определён при $x\ge0$. Весь заданный отрезок находится в этой области, а функция на нём непрерывна. Наименьшее значение может быть внутри отрезка или на его границе. Найдём участки убывания и возрастания с помощью производной и проверим, какое место даёт наименьшее значение с учётом обоих концов. Шаг 2. Найдём производную. Произведение $x\sqrt x$ можно записать как степень. Так как $x=x^1$, $\sqrt x=x^{1/2}$, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$x\sqrt x=x^{1+1/2}=x^{3/2}.$$ Для производной степени используем $(x^n)'=nx^{n-1}$. Здесь показатель $n=3/2$, поэтому $$(x^{3/2})'=\frac32x^{3/2-1}=\frac32x^{1/2}=\frac32\sqrt x.$$ Производная $-9x$ равна $-9$, производная постоянного числа 25 равна 0. Получаем $$y'=\frac32\sqrt x-9.$$ Шаг 3. Найдём нуль производной. Решаем уравнение $$\frac32\sqrt x-9=0.$$ Прибавляем 9 к обеим частям: $$\frac32\sqrt x=9.$$ Чтобы убрать коэффициент $3/2$, умножаем обе части на обратную дробь $2/3$: $$\sqrt x=9\cdot\frac23=\frac{18}3=6.$$ Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат сохраняет равенство: $$x=6^2=6\cdot6=36.$$ Число 36 находится внутри отрезка: $1<36<50$. Шаг 4. Докажем, что найденное место даёт минимум на всём отрезке. При $1\le x<36$ квадратный корень меньше 6: $\sqrt x<\sqrt{36}=6$. Умножаем на положительное $3/2$: $$\frac32\sqrt x<\frac32\cdot6=\frac{18}2=9.$$ Вычитаем 9: $y'=(3/2)\sqrt x-9<0$. Значит, до 36 функция убывает. При $36<x\le50$ имеем $\sqrt x>6$. Аналогично $(3/2)\sqrt x>9$, поэтому $y'>0$. После 36 функция возрастает. Таким образом, от левого конца 1 к 36 значения уменьшаются, а от 36 к правому концу 50 — увеличиваются. Значение при 36 меньше значений на обоих концах и во всех остальных точках отрезка. Границы отрезка учтены этим сравнением. Шаг 5. Вычислим значение функции. Подставляем $x=36$ в исходную формулу: $$y(36)=36\sqrt{36}-9\cdot36+25.$$ Корень $\sqrt{36}=6$, потому что $6^2=36$. Поэтому $$36\sqrt{36}=36\cdot6=216,$$ $$9\cdot36=324.$$ Остаётся сложить числа со знаками: $$y(36)=216-324+25.$$ Сначала $216-324=-108$, затем $-108+25=-83$. Следовательно, $$y(36)=-83.$$ Проверка выбранного $x$: $y'(36)=(3/2)\cdot6-9=9-9=0$, а по обе стороны знак изменился с минуса на плюс. Ответ: $-83$. Это наименьшее значение функции; оно достигается при $x=36$.