ФИПИ 1BFB4B — Иррациональные функции

Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти. Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше. Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание. Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл. Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x: $$x^{3/2}=x\sqrt x$$ Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$x\ge0$$ Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль. Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку. Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. Число $16$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю. $$(16)^{\prime}=0$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(- 21 x)^{\prime}=(-21)\cdot(1)\cdot x^{0}=-21$$ Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель: $$(2 x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(2)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=3 \sqrt{x}$$ Складываем найденные производные: $$y^{\prime}=3 \sqrt{x} - 21$$ Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак. Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение: $$3 \sqrt{x} - 21=0$$ Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак: $$3\sqrt x=21$$ Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем: $$\sqrt x=\frac{21}{3}=7$$ Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень: $$x=(7)^2=49$$ Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции. Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа. Для промежутка $(0;49)$ возьмём $x=\frac{49}{2}$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(\frac{49}{2})=3 \sqrt{\left(\frac{49}{2}\right)} - 21$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{\frac{49}{2}}=\frac{7 \sqrt{2}}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \frac{7 \sqrt{2}}{2}=\frac{21 \sqrt{2}}{2}$$ $$y^{\prime}(\frac{49}{2})=-21 + \frac{21 \sqrt{2}}{2}<0$$ Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Для промежутка $(49;\infty)$ возьмём $x=50$. Подставляем его в производную: $$y^{\prime}(50)=3 \sqrt{\left(50\right)} - 21$$ Показатель 1/2 означает квадратный корень: выбираем неотрицательное число, квадрат которого равен основанию. $$\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 5 \sqrt{2}=15 \sqrt{2}$$ $$y^{\prime}(50)=-21 + 15 \sqrt{2}>0$$ Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается. Шаг 6. Отвечаем на вопрос. При прохождении через $x=49$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума. В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем: $$x=49$$ Ответ: $49$.