Найдите точку минимума функции $y={x}^{\frac{3}{2}}-3x+9.$
Ответ: $4$.
Решение
Шаг 1. Разбираемся, что нужно найти.
Нужно найти такое значение x, при переходе через которое функция меняет убывание на возрастание: сначала y становится меньше, затем больше.
Это x и называется точкой минимума в формулировке задачи. Найти его поможет производная: её положительный знак означает возрастание, отрицательный — убывание.
Шаг 2. Проверяем, при каких x формула имеет смысл.
Дробная степень с показателем 3/2 означает произведение x и квадратного корня из x:
$$x^{3/2}=x\sqrt x$$
Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении:
$$x\ge0$$
Шаг 3. Находим производную и объясняем её роль.
Производная показывает направление изменения функции. Мы ищем участки роста и убывания, чтобы обоснованно выбрать нужную точку.
Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется.
Число $9$ не зависит от x, поэтому его производная равна нулю.
$$(9)^{\prime}=0$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(x^{\frac{3}{2}})^{\prime}=(1)\cdot(\frac{3}{2})\cdot x^{\frac{1}{2}}=\frac{3 \sqrt{x}}{2}$$
Для степени используем правило $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$. Коэффициент перед степенью умножаем на показатель:
$$(- 3 x)^{\prime}=(-3)\cdot(1)\cdot x^{0}=-3$$
Складываем найденные производные:
$$y^{\prime}=\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 3$$
Шаг 4. Находим места, где производная может поменять знак.
Внутри области определения производная этой функции непрерывна. Она может поменять знак при прохождении через ноль. Поэтому решим уравнение:
$$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 3=0$$
Неизвестное здесь находится под корнем. Сначала перенесём постоянное слагаемое в другую часть, изменив его знак:
$$\frac{3}{2}\sqrt x=3$$
Делим обе части на коэффициент перед квадратным корнем:
$$\sqrt x=\frac{3}{\frac{3}{2}}=2$$
Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень:
$$x=(2)^2=4$$
Шаг 5. Проверяем знаки производной и направление изменения функции.
Между найденными нулями и границами области производная не обращается в ноль и не имеет разрывов. Поэтому её знак постоянен на каждом таком промежутке. Проверим его подстановкой одного числа.
Для промежутка $(0;4)$ возьмём $x=2$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(2)=\frac{3 \sqrt{\left(2\right)}}{2} - 3$$
$$y^{\prime}(2)=-3 + \frac{3 \sqrt{2}}{2}<0$$
Здесь функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается.
Для промежутка $(4;\infty)$ возьмём $x=5$. Подставляем его в производную:
$$y^{\prime}(5)=\frac{3 \sqrt{\left(5\right)}}{2} - 3$$
$$y^{\prime}(5)=-3 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}>0$$
Здесь функция возрастает: при увеличении x значение y увеличивается.
Шаг 6. Отвечаем на вопрос.
При прохождении через $x=4$ производная меняет минус на плюс. Слева функция убывает, справа растёт, поэтому это нужная точка минимума.
В этой задаче спрашивается значение x. Поэтому в ответ записываем:
$$x=4$$
Ответ: $4$.